Opgave: Bepaal de punten op de doorsnijding van de oppervlakken
g1:=x² - xy + y² - z² - 1 = 0 en g2:= x² + y² - 1 = 0
op extremale afstand van de oorsprong.
Ik vraag me af wat de algemene oplossingsmethode is en waarom.
Ik heb al dat f(x,y,z)= x²+y²+z² (of moet dit de wortel ervan zijn?)
Vervolgens nemen we 3 determinanten en stellen deze gelijk aan 0, de eerste determinant is deze van de 2x2 matrix met als rijen 2 keer g1 en 2 keer g2 en de kolommen zijn de afgeleiden naar x en naar y. De 2e matrix is hetzelfde maar nu voor y en z, en de derde is voor x en z.
Wat is de bedoeling van deze determinanten? Want ik raak er niet wijs uit..
Laatste berichten
-
09:48
Schroefdraad berekening 4
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
08:56
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 11
-
22:05
projectiel 7
-
21:48
Verschil tussen deze 2 vragen 4
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
12:15
Weerfrustratie 5
-
11:55
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
-
20 apr
Stank rotte eieren uit de warmwaterboiler 11
-
20 apr
Nut warmtepomp 18
-
20 apr
Airco bevriezings kans berekenen. 17
-
19 apr
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
-
18 apr
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Gebonden extremumvraagstuk
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 113
Re: Gebonden extremumvraagstuk
Dit klopt alvast. Je kan de wortel ook nemen, maar dit is lastiger rekenwerk. Waarom mag je dit dan nemen ipv de wortel? Het minimum van een kwadraat ligt gelijk aan het minimum van een getal. Neem bijvoorbeeld 3,6,4,9,2 wat is daar het minimum? En neem dan overal eens het kwadraat en zoek dan het minimum... Juist ja, dit ligt gelijk. Zo heeft onze docent ons dit aangetoond.Ik heb al dat f(x,y,z)= x²+y²+z² (of moet dit de wortel ervan zijn?)
Het feit dat je determinanten gebruikt is omdat je gradiënt neemt. Wij hebben het eigenlijk gezien als: de partiële afgeleiden naar x,y,z, lambda en mu. Deze vergelijkingen dan gelijk stellen aan nul en hieruit de oplossingen bepalen. Klein beetje andere aanpak, maar eigenlijk exact hetzelfde resultaat.
Heb je de oplossing van de oefening? Kan ik even vergelijken met wat ik bekom, en als het mijne juist is kan ik verder uitleggen.
-
- Berichten: 299
Re: Gebonden extremumvraagstuk
Het antwoord heb ik niet, maar zelf kom ik uit dat er geen kritische punten zijn..
Met F de hulpfunctie f+lambda g1 + mu g2:
Uit Fx en Fy haal ik dat x=y als ik dit dan in g2 stop krijg ik x=y=1/sqrt(2) maar dit is in tegenstrijdigheid met g1..
Met F de hulpfunctie f+lambda g1 + mu g2:
Uit Fx en Fy haal ik dat x=y als ik dit dan in g2 stop krijg ik x=y=1/sqrt(2) maar dit is in tegenstrijdigheid met g1..
-
- Berichten: 76
Re: Gebonden extremumvraagstuk
Ben je vertrouwd met de methode van Lagrange?
Je maakt een hulpfunctie:
In jouw geval is de te extremeren functie, f(x,y,z):
f(x,y,z)=x²+y²+z²
De functie die de 3 veranderlijken bindt, g(x,y,z)=0, vind je door de vgln. van die 2 vlakken aan elkaar gelijk te stellen en alles naar 1 kant te zwieren .
Dan maak je volgend stelsel:
Met dit stelsel kom je aan de oplossing.
Wat die methode eigenlijk precies doet is als volgt:
de snijpunten van f(x,y,z)=k en g(x,y,z)=0 ( de te extremeren en de binden functie ) zoeken die overeen komen met de extremale k. In deze snijpunten hebben deze functies een gemeenschappelijke raaklijn, en dus een gemeenschappelijke normaalvector. De normaalvector van een functie wordt gevonden door de gradiënt te nemen van de functie. We bekomen dus dat de oplossingen voldoen aan ( en via deze vergelijking vind je de oplossing ) :
grad f =
je ziet dat deze gradiënten voorwaarde precies hetzelfde is als het stelsel met partiële afgeleiden dat je uitkomt via de hulpfunctie. Die hulpfunctie is gemaakt om heel snel en gemakkelijk deze vraagstukken op te lossen.
Je maakt een hulpfunctie:
\(\phi\)
(x,y,z,\(\lambda\)
) = f(x,y,z) - \(\lambda\)
g(x,y,z)In jouw geval is de te extremeren functie, f(x,y,z):
f(x,y,z)=x²+y²+z²
De functie die de 3 veranderlijken bindt, g(x,y,z)=0, vind je door de vgln. van die 2 vlakken aan elkaar gelijk te stellen en alles naar 1 kant te zwieren
.Dan maak je volgend stelsel:
\(\delta\)
\(\phi\)
/\(\delta\)
x=0\(\delta\)
\(\phi\)
/\(\delta\)
y=0\(\delta\)
\(\phi\)
/\(\delta\)
z=0\(\delta\)
\(\phi\)
/\(\delta\)
\(\lambda\)
=0Met dit stelsel kom je aan de oplossing.
Wat die methode eigenlijk precies doet is als volgt:
de snijpunten van f(x,y,z)=k en g(x,y,z)=0 ( de te extremeren en de binden functie ) zoeken die overeen komen met de extremale k. In deze snijpunten hebben deze functies een gemeenschappelijke raaklijn, en dus een gemeenschappelijke normaalvector. De normaalvector van een functie wordt gevonden door de gradiënt te nemen van de functie. We bekomen dus dat de oplossingen voldoen aan ( en via deze vergelijking vind je de oplossing ) :
grad f =
\(\lambda\)
grad gje ziet dat deze gradiënten voorwaarde precies hetzelfde is als het stelsel met partiële afgeleiden dat je uitkomt via de hulpfunctie. Die hulpfunctie is gemaakt om heel snel en gemakkelijk deze vraagstukken op te lossen.
-
- Berichten: 76
Re: Gebonden extremumvraagstuk
misschien nog even verduidelijken:
Het snijpunt waar g(x,y,z) en f(x,y,z) is eigenlijk een punt waar de 2 functies raken. Je moet je gewoon voorstellen dat je voor f(x,y,z) de niveaukrommen uittekend ( dat is de functie f, steeds met constante waarde. ) In dit geval zijn dit concentrische bollen rond de oorsprong. Daardoor loopt de functie g(x,y,z) ( de snijlijn van de vlakken ). De punten waar g(x,y,z) de kleinste bol raakt beantwoorden aan de oplossing. Dit zijn dus ook de punten met de gradiënt voorwaarde. Die lambda is gewoon een evenredigheidsfactor, je moet je daar zoveel niet van aantrekken, die kan je makkelijk oplossen uit dat stelsel dat eruit voortkomt
ps: ik weet wel helemaal niet wat je al kent van wiskunde, dus als ik wat te ver gegaan ben moet je het maar negeren
Het snijpunt waar g(x,y,z) en f(x,y,z) is eigenlijk een punt waar de 2 functies raken. Je moet je gewoon voorstellen dat je voor f(x,y,z) de niveaukrommen uittekend ( dat is de functie f, steeds met constante waarde. ) In dit geval zijn dit concentrische bollen rond de oorsprong. Daardoor loopt de functie g(x,y,z) ( de snijlijn van de vlakken ). De punten waar g(x,y,z) de kleinste bol raakt beantwoorden aan de oplossing. Dit zijn dus ook de punten met de gradiënt voorwaarde. Die lambda is gewoon een evenredigheidsfactor, je moet je daar zoveel niet van aantrekken, die kan je makkelijk oplossen uit dat stelsel dat eruit voortkomt
ps: ik weet wel helemaal niet wat je al kent van wiskunde, dus als ik wat te ver gegaan ben moet je het maar negeren
-
- Berichten: 7.390
Re: Gebonden extremumvraagstuk
Even voor de goede orde: ben je er inmiddels uit of niet? Indien niet, laat je maar weten tot hoever je inmiddels bent, dan kijken we vanaf daar weer verder!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 299
Re: Gebonden extremumvraagstuk
Bedankt voor de hulp tot dusver!
Ik heb er nog eens naar gekeken en kom nu tot het volgende:
4 kritische punten : (0,1,0),(1,0,0),(0,-1,0),(-1,0,0). Deze zijn volgens mij allemaal lokale minima. Klopt dit?
Ik heb er nog eens naar gekeken en kom nu tot het volgende:
4 kritische punten : (0,1,0),(1,0,0),(0,-1,0),(-1,0,0). Deze zijn volgens mij allemaal lokale minima. Klopt dit?
