Springen naar inhoud

Gebonden extremumvraagstuk


  • Log in om te kunnen reageren

#1

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 juni 2011 - 21:12

Opgave: Bepaal de punten op de doorsnijding van de oppervlakken

g1:=x≤ - xy + y≤ - z≤ - 1 = 0 en g2:= x≤ + y≤ - 1 = 0

op extremale afstand van de oorsprong.


Ik vraag me af wat de algemene oplossingsmethode is en waarom.

Ik heb al dat f(x,y,z)= x≤+y≤+z≤ (of moet dit de wortel ervan zijn?)

Vervolgens nemen we 3 determinanten en stellen deze gelijk aan 0, de eerste determinant is deze van de 2x2 matrix met als rijen 2 keer g1 en 2 keer g2 en de kolommen zijn de afgeleiden naar x en naar y. De 2e matrix is hetzelfde maar nu voor y en z, en de derde is voor x en z.

Wat is de bedoeling van deze determinanten? Want ik raak er niet wijs uit..

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

teddybeer

    teddybeer


  • >100 berichten
  • 114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2011 - 12:16

Ik heb al dat f(x,y,z)= x≤+y≤+z≤ (of moet dit de wortel ervan zijn?)

Dit klopt alvast. Je kan de wortel ook nemen, maar dit is lastiger rekenwerk. Waarom mag je dit dan nemen ipv de wortel? Het minimum van een kwadraat ligt gelijk aan het minimum van een getal. Neem bijvoorbeeld 3,6,4,9,2 wat is daar het minimum? En neem dan overal eens het kwadraat en zoek dan het minimum... Juist ja, dit ligt gelijk. Zo heeft onze docent ons dit aangetoond.

Het feit dat je determinanten gebruikt is omdat je gradiŽnt neemt. Wij hebben het eigenlijk gezien als: de partiŽle afgeleiden naar x,y,z, lambda en mu. Deze vergelijkingen dan gelijk stellen aan nul en hieruit de oplossingen bepalen. Klein beetje andere aanpak, maar eigenlijk exact hetzelfde resultaat.

Heb je de oplossing van de oefening? Kan ik even vergelijken met wat ik bekom, en als het mijne juist is kan ik verder uitleggen. ;-)

Veranderd door teddybeer, 22 juni 2011 - 12:16


#3

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2011 - 13:58

Het antwoord heb ik niet, maar zelf kom ik uit dat er geen kritische punten zijn..

Met F de hulpfunctie f+lambda g1 + mu g2:

Uit Fx en Fy haal ik dat x=y als ik dit dan in g2 stop krijg ik x=y=1/sqrt(2) maar dit is in tegenstrijdigheid met g1..

#4

LVI

    LVI


  • >25 berichten
  • 76 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juni 2011 - 22:42

Ben je vertrouwd met de methode van Lagrange?

Je maakt een hulpfunctie:

LaTeX (x,y,z,LaTeX ) = f(x,y,z) - LaTeX g(x,y,z)

In jouw geval is de te extremeren functie, f(x,y,z):

f(x,y,z)=x≤+y≤+z≤

De functie die de 3 veranderlijken bindt, g(x,y,z)=0, vind je door de vgln. van die 2 vlakken aan elkaar gelijk te stellen en alles naar 1 kant te zwieren ;).

Dan maak je volgend stelsel:

LaTeX LaTeX /LaTeX x=0

LaTeX LaTeX /LaTeX y=0

LaTeX LaTeX /LaTeX z=0

LaTeX LaTeX /LaTeX LaTeX =0

Met dit stelsel kom je aan de oplossing.

Wat die methode eigenlijk precies doet is als volgt:

de snijpunten van f(x,y,z)=k en g(x,y,z)=0 ( de te extremeren en de binden functie ) zoeken die overeen komen met de extremale k. In deze snijpunten hebben deze functies een gemeenschappelijke raaklijn, en dus een gemeenschappelijke normaalvector. De normaalvector van een functie wordt gevonden door de gradiŽnt te nemen van de functie. We bekomen dus dat de oplossingen voldoen aan ( en via deze vergelijking vind je de oplossing ) :

grad f = LaTeX grad g

je ziet dat deze gradiŽnten voorwaarde precies hetzelfde is als het stelsel met partiŽle afgeleiden dat je uitkomt via de hulpfunctie. Die hulpfunctie is gemaakt om heel snel en gemakkelijk deze vraagstukken op te lossen.

Veranderd door LVI, 23 juni 2011 - 22:50


#5

LVI

    LVI


  • >25 berichten
  • 76 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juni 2011 - 23:19

misschien nog even verduidelijken:

Het snijpunt waar g(x,y,z) en f(x,y,z) is eigenlijk een punt waar de 2 functies raken. Je moet je gewoon voorstellen dat je voor f(x,y,z) de niveaukrommen uittekend ( dat is de functie f, steeds met constante waarde. ) In dit geval zijn dit concentrische bollen rond de oorsprong. Daardoor loopt de functie g(x,y,z) ( de snijlijn van de vlakken ). De punten waar g(x,y,z) de kleinste bol raakt beantwoorden aan de oplossing. Dit zijn dus ook de punten met de gradiŽnt voorwaarde. Die lambda is gewoon een evenredigheidsfactor, je moet je daar zoveel niet van aantrekken, die kan je makkelijk oplossen uit dat stelsel dat eruit voortkomt :P

ps: ik weet wel helemaal niet wat je al kent van wiskunde, dus als ik wat te ver gegaan ben moet je het maar negeren ;)

Veranderd door LVI, 23 juni 2011 - 23:16


#6

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 juni 2011 - 10:23

Even voor de goede orde: ben je er inmiddels uit of niet? Indien niet, laat je maar weten tot hoever je inmiddels bent, dan kijken we vanaf daar weer verder!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#7

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 juni 2011 - 20:43

Bedankt voor de hulp tot dusver!

Ik heb er nog eens naar gekeken en kom nu tot het volgende:

4 kritische punten : (0,1,0),(1,0,0),(0,-1,0),(-1,0,0). Deze zijn volgens mij allemaal lokale minima. Klopt dit?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures