Ok omdat de verveling is toegeslagen maak ik nu even tijd.
Viervectoren zijn vectoren die bestaan uit een tijd-component en drie ruimtecomponenten. Laten we meteen beginnen met het bouwen van zo'n vector. We noemen X een viervector gedefinieerd als volgt:
\(X = (ct,x,y,z) = (ct,x) \)
*x is hier dus een afkorting van de componenten x,y,z
Wat kunnen we hiermee? Allereerst bepalen we de "lengte". Dat is in dit geval niet hetzelfde als normaal de lengte van een vector met n componenten nemen. We definieren de lengte
\(\Delta s \)
als volgt:
\(\Delta s = (ct)^2 - x^2\)
Waarom dit zo is, moet je voor nu even aannemen. Hier een kleine afleiding die je een goed idee geeft:
\(t = \tau / \sqrt(1 - v^2/c^2) \)
\(t^2 = \tau^2 / (1 - v^2/c^2) \)
\(t^2 - v^2 t^2/ c^2 = \tau^2 \)
\(c^2t^2 - v^2t^2 = \tau^2 c^2 \)
\(c^2t^2 - x^2 = \tau^2 c^2\)
Aan de linker kant zie je precies de gedefinieerde lengte van het interval ds. Aan de rechterkant de eigentijd maal de lichtsnelheid in het kwadraat. Doe een klein gedachte experiment en kom inderdaad tot de conclusie dat dit invariant is in elk stelsel. (Zet een lamp aan op
\( \tau = 0 \)
voor beide waarnemers, bekijk waar het foton is na
\(\Delta \tau\)
voor beide waarnemers (in hun eigen stelsel dus) en bepaal de lengte... Ze meten allebei dezelfde lengte)
De viervector beschrijft voor een waarnemer dus de ruimtecomponenten en de tijdcomponent - dat samen wordt als een ruimtetijdcomponent beschouwd. We nemen de viervector X en differentieren die naar de eigentijd (denk hier eens over na, waarom?)
\(V = dX/d\tau \)
Hier heet V de viersnelheid.
Nu kunnen we een vierimpuls definieren;
\(P = mV = m dX/d\tau \)
Nu passen we een wiskundige trucje toe (ketting of product regel, dat vergeet ik altijd)
\({dX \over d\tau} = {dX \over dt} * {dt \over d\tau}\)
En je weet dat (als niet, ga dat eenvoudig even na door
\( t = \tau \gamma\)
\({dt \over d\tau} = \gamma\)
Dus kijken we opnieuw naar de vierimpuls P en herschrijven die als:
\(P = mV = m dX/d\tau = (\gamma mc,\gamma mv_x, \gamma mv_y, \gamma mv_z)\)
waarin de v-componenten dus respectievelijk dx/dt dy/dt en dz/dt zijn.
Als je hier bent aanbeland, dan ben je al een heel eind met een formelere opzet. Hier volgt bijna uit wat je wilt onderzoeken. Het is nu aan jou (best leuk om zelf te doen) om de lengte van de vierimpuls uit te rekenen en daar een uitspraak over te doen.
//Er kunnen foutjes in zitten - merk dat even op, dan probeer ik ze te verbeteren//
//Als je die de lengte hebt gevonden, kan je ook even kijken wat massa precies betekent in deze context (voor iedere waarnemer), als het goed is weet je het resultaat al; het is nuttig om daar op deze manier achter te komen//