Springen naar inhoud

Vraag over integralen met c1 en c2


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kasper90

    kasper90


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 juni 2011 - 16:22

Geplaatste afbeelding

Veranderd door Drieske, 25 juni 2011 - 13:36


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Yamibas

    Yamibas


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 juni 2011 - 11:42

Als je goed leest staat er gewoon precies hetzelfde. De ln(x) is niet negatieve gedefinieerd! Alleen positief.

Bewijs:
LaTeX
|x| betekent dat je altijd de positieve waarde van x hebt. Stel je vult -2 in dan wordt dit 2, -9 wordt 9 etc... Oftewel er staat altijd een positief getal.

Nu is het zo als je die 2e formule goed leest staat er dit:
LaTeX voor LaTeX
Vul 2 in in ln(x) dat geeft ln(2). Omdat x groter is dan 0 staat er hier ook altijd een positief getal.
LaTeX voor LaTeX
Vul -2 in in ln(x) dat geeft ln(--2)=ln(2). Omdat x altijd kleiner is dan 0 staat hier ook altijd een positief getal(, omdat er telkens -- komt te staan).

Is het zo een beetje duidelijk?

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 juni 2011 - 12:07

Dit onderwerp past beter in het huiswerkforum en is daarom verplaatst.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

kasper90

    kasper90


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 juni 2011 - 13:52

Geplaatste afbeelding

#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 25 juni 2011 - 13:56

Je vraag is me niet duidelijk.

#6

kasper90

    kasper90


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 juni 2011 - 16:04

Geplaatste afbeelding

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 25 juni 2011 - 16:50

Nee, de tweede notatie is goed iig gebruikelijk. Je moet argumenten hebben om de eerste notatie te gebruiken, want dat is niet fout.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 juni 2011 - 17:05

Dit is een interessante vraag en omdat er niet vaak bij stilgestaan wordt, doe ik een poging om het helder uit te leggen.

Wanneer we een 'onbepaalde integraal' noteren, wordt daar meestal niet een primitieve mee bedoeld, maar de verzameling van alle primitieven. Daarom geven we niet 'x≤' als antwoord bij een onbepaalde integraal van 2x, maar x≤+C met C een willekeurige constante. Men kan namelijk tonen dat je daarmee alle primitieven hebt.

De functie ln(x) bestaat alleen voor x>0. De afgeleide van ln(x) is 1/x, dus op (0,+∞) is ln(x) een primitieve van 1/x. De verzameling van alle primitieven op (0,+∞) wordt gegeven door ln(x)+C, met C een willekeurige constante.

De functie ln(-x) bestaat alleen voor x<0. De afgeleide van ln(-x) is ook 1/x, dus op (-∞,0) is ln(-x) een primitieve van 1/x. De verzameling van alle primitieven op (-∞,0) wordt gegeven door ln(-x)+C, met C een willekeurige constante.

Merk op dat op (0,+inf), ln(x) ook geschreven kan worden als ln|x| en analoog dat op (-inf,0), ln(-x) eveneens geschreven kan worden als ln|x|. Hierdoor hebben we dus schijnbaar de mogelijkheid om die twee aparte stukken elegant samen te voegen in de vorm: ln|x| is een primitieve van 1/x voor alle x verschillend van 0.

Tot zover is nog alles goed, maar het probleem duikt op wanneer we opnieuw de verzameling van alle primitieven willen opschrijven. Dat is niet meer ln|x|+C omdat de rode C en de blauwe C van hiervoor niet noodzakelijk dezelfde hoeven te zijn! Zo is

LaTeX

een geldige primitieve van de functie met voorschrift f(x) = 1/x voor x verschillend van 0, maar deze is niet van de vorm ln|x|+C. Door de primitieven op deze laatste manier samen te vatten, verlies je dus de 'mogelijkheid' om die integratieconstante op de twee stukken (x<0 en x>0) verschillend te kiezen. Je 'mist' dus een hele hoop mogelijke primitieve functies door je te beperken tot ln|x|+C.

Eigenlijk is dit laatste dus een fout in de meeste boeken, als ze tenminste eerder ook de afspraak maakten om met die onbepaalde integraal de verzameling van alle primitieve functies te noteren. Maar dit is natuurlijk eerder van wiskundig belang dan van praktisch belang, want meestal gebruik je zo'n primitieve van dergelijke functies slechts op een interval waarover functie en primitieve continu zijn.

Duidelijk zo? Hetzelfde verhaal geldt voor analoge gevallen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 juni 2011 - 21:01

Wanneer we een 'onbepaalde integraal' noteren, wordt daar meestal niet een primitieve mee bedoeld, maar de verzameling van alle primitieven. Daarom geven we niet 'x≤' als antwoord bij een onbepaalde integraal van 2x, maar x≤+C met C een willekeurige constante. Men kan namelijk tonen dat je daarmee alle primitieven hebt.


Volgens mij geef je op die manier niet alle primitieven van 2x weer. Kijk maar naar volgend voorbeeld, dat is volgens mij ook een primitieve van 2x, of zie ik iets over het hoofd?

Ik had hier nog nooit bij stilgestaan, wel interessant.


LaTeX

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 juni 2011 - 21:18

Jouw functie F is niet differentieerbaar in x = 0 (zelfs niet continu); met andere woorden geldt voor deze functie niet dat F'(0) = f(0) en dat is wel nodig om F een primitieve van f te noemen in 0, of meer algemeen op heel R. Een functie F heet immers primitieve van f op een interval als F'(x) = f(x) voor alle x in dat interval. Je kritisch idee was wel goed, maar zie je hoe dit geen probleem veroorzaakt in het voorbeeld van deze topic (1/x), maar wel bij jouw voorbeeld?


Ik had hier nog nooit bij stilgestaan, wel interessant.

Ik denk niet dat je de enige bent... ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 juni 2011 - 21:39

Analyse zal nooit mijn beste vak zijn neem ik aan:p

Ik neem aan dat het geen probleem was voor jouw functie aangezien die wel afleidbaar is in volledig R\{0}. Maar zijn er dan nog functies waar je niet alle primitieven van kan schrijven in 1 functie zoals 1/x?

Dit als laatste vraag voor ik heel het topic overneem ;)

#12

kasper90

    kasper90


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 juni 2011 - 22:33

Geplaatste afbeelding

Oops ik dacht dat ik rekening had gehouden met de breedte van dit forum... maar helaas een foutje gemaakt...
als je rechtersmuisklik--> afbeelding bekijken drukt, zijn de letters iets groter!

Veranderd door kasper90, 25 juni 2011 - 22:36


#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 juni 2011 - 23:04

Ik denk dat je het nu inderdaad door hebt; je boek lijkt het nog vrij netjes in te voeren allemaal. Terzijde: is het niet makkelijker om de tekst gewoon in te typen in plaats van in een plaatje te zetten? Dan heb je die ongemakjes ook niet ;).

Ik neem aan dat het geen probleem was voor jouw functie aangezien die wel afleidbaar is in volledig R\{0}. Maar zijn er dan nog functies waar je niet alle primitieven van kan schrijven in 1 functie zoals 1/x?

Als de functie niet bestaat op heel R maar wel op minstens twee gescheiden intervallen (meer kan ook). Bekijk bv. de functies van de vorm 1/((x-a)(x-b)) voor constanten a en b; dan krijg je al drie gevallen (als a en b verschillen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures