Dit is een interessante vraag en omdat er niet vaak bij stilgestaan wordt, doe ik een poging om het helder uit te leggen.
Wanneer we een 'onbepaalde integraal' noteren, wordt daar meestal niet
een primitieve mee bedoeld, maar de verzameling van
alle primitieven. Daarom geven we niet 'x²' als antwoord bij een onbepaalde integraal van 2x, maar x²+C met C een willekeurige constante. Men kan namelijk tonen dat je daarmee alle primitieven hebt.
De functie ln(x) bestaat alleen voor x>0. De afgeleide van ln(x) is 1/x, dus op (0,+∞) is ln(x) een primitieve van 1/x. De verzameling van
alle primitieven op (0,+∞) wordt gegeven door ln(x)+
C, met C een willekeurige constante.
De functie ln(-x) bestaat alleen voor x<0. De afgeleide van ln(-x) is
ook 1/x, dus op (-∞,0) is ln(-x) een primitieve van 1/x. De verzameling van alle primitieven op (-∞,0) wordt gegeven door ln(-x)+
C, met C een willekeurige constante.
Merk op dat op (0,+inf), ln(x) ook geschreven kan worden als ln|x| en analoog dat op (-inf,0), ln(-x) eveneens geschreven kan worden als ln|x|. Hierdoor hebben we dus schijnbaar de mogelijkheid om die twee aparte stukken elegant samen te voegen in de vorm: ln|x| is een primitieve van 1/x
voor alle x verschillend van 0.
Tot zover is nog alles goed, maar het probleem duikt op wanneer we opnieuw de verzameling van alle primitieven willen opschrijven. Dat is niet meer ln|x|+C omdat de rode C en de blauwe C van hiervoor niet noodzakelijk dezelfde hoeven te zijn! Zo is
\(F:\rr_0 \to \rr : x \mapsto\left\{ \begin{array}{rcl}{\ln|x|+5} & \mbox{als} & x<0 \\ {\ln|x|-3} & \mbox{als} & x>0 \\ \end{array}\right.\)
een geldige primitieve van de functie met voorschrift f(x) = 1/x voor x verschillend van 0, maar deze is niet van de vorm ln|x|+C. Door de primitieven op deze laatste manier samen te vatten, verlies je dus de 'mogelijkheid' om die integratieconstante op de twee stukken (x<0 en x>0) verschillend te kiezen. Je 'mist' dus een hele hoop mogelijke primitieve functies door je te beperken tot ln|x|+C.
Eigenlijk is dit laatste dus een fout in de meeste boeken, als ze tenminste eerder ook de afspraak maakten om met die onbepaalde integraal de verzameling van alle primitieve functies te noteren. Maar dit is natuurlijk eerder van wiskundig belang dan van praktisch belang, want meestal gebruik je zo'n primitieve van dergelijke functies slechts op een interval waarover functie en primitieve continu zijn.
Duidelijk zo? Hetzelfde verhaal geldt voor analoge gevallen.