Dan moet je inderdaad, zoals Bartjes zei, oppassen met onmeetbaarheid van verzamelingen. Het zou immers, zoals bij aftelbare verzamelingen een idee kunnen zijn om gewoon
alle deelverzamelingen als je gebeurtenissen te nemen. Dit zou echter mislopen... Het beroemdste voorbeeld hiervan is de
Banach-Tarski Paradox. Deze paradox is weliswaar in een breder kader, maar is evenzeer van toepassing voor kanstheorie in het specifiek (het is te zeggen: het mislopen bij het nemen van alle deelverzamelingen).
Formeler komt dit neer op het volgende:
Er bestaat geen afbeelding \(\mu: 2^{[a,b]} \to \rr^+\)
die voldoet aan:
-
\(\mu\)
(interval) = lengte(interval)
-
\(\mu(\emptyset)\)
= 0
- Als (E
n) een disjuncte rij is, dan
\(\mu(\bigcup_n E_n) = \sum_n \mu(E_n)\)
- Voor alle t in R en E, geldt
\(\mu(E+t) = \mu(E)\)
[/i]
Het bewijs hiervan wil ik wel schetsen op aanvraag
. Maar dit toont alleszins wel aan dat alle deelverzamelingen niet kan werken. Een oplossing hiervoor is werken met
sigma-algebra's en in het bijzonder met de
Borel sigma-algebra.
! Bij vragen laat je het maar horen! Want naar alle waarschijnlijkheid was mijn vorige post al bij al nog vrij vaag om het écht volledig te vatten 