Onafhankelijke stochastische variabelen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 26-06-'11, 11:54

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Onafhankelijke stochastische variabelen

Men kan bewijzen: als X en Y twee onafhankelijke stochastische variabelen zijn met continue verdeling, dan is de dichtheidsfunctie van X+Y de convolutie van de dichtheden van X en Y:

Ik moet met andere woorden aantonen dat:
\(f_{X+Y}(u)= \int_{-\infty}^{+\infty}{f_X(v)f_Y(u-v)dv}=f_X*f_Y==f_Y*f_X\)
(Die laatste stap is natuurlijk de definitie van de convolutie-integraal). Maar voor het eerste gelijkheidsteken, zie ik niet zo gauw een oplossing.

Iemand die een aanzet heeft?

Alvast bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 26-06-'11, 12:10

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Onafhankelijke stochastische variabelen

Wat is je definitie van
\(f_{X+Y}\)
? Ik zou beginnen met die eens op te schrijven... Mocht het niet lukken, ik heb in de hide-tags een gelijkaardig resultaat gezet, maar dat gebruik maakt van de convolutie uitgeschreven op uw kans(maat).

Verborgen inhoud
Ik zal je een zeer gelijkaardig resultaat geven. Dan probeer je maar (waar nodig) aan te passen...

Zij X en Y onderling onafhankelijke reële toevalsvariabelen op een kansruimte
\((\Omega, \mathcal{M}, P)\)
met verdelingen resp
\(P_X\)
en
\(P_Y\)
. Dan geldt
\(P_{X+Y} = P_X * P_Y\)
.[/i]

De analogie lijkt me wel duidelijk ;) . Btw, die kansruimte moet je je geen zorgen over maken. Dat betekent gewoon dat je enkel met de meetbare dingen werkt, mocht je de notatie niet kennen. En met
\(P_X(A)\)
bedoel ik per definitie
\(P(X \in A)\)
.

Het 'bewijs' dan: Kies een willekeurige
\(S \subseteq \rr\)
. Zij
\(S^{(2)} = \{(x,y) \in \rr^2 | x+y \in S\}\)
en
\(Z = (X, Y)\)
.

Dan is
\(P_{X+Y}(S) = P((X+Y) \in S) = P((X,Y) \in S^{(2)}) = P_Z(S^{(2)}) = (P_X \times P_Y)(S^{(2)}) = (P_X * P_Y)(S)\)
.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 26-06-'11, 12:18

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Onafhankelijke stochastische variabelen

Inderdaad, als ik de definitie uitschrijf:
\(f_{X+Y}(u)= \frac{dF_{X+Y}(u)}{du}\)
en dan overga op de integraaldefinitie lukt het inderdaad.

Ik was onbekend met die notatie, maar ze is verstaanbaar.

Erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 26-06-'11, 12:26

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Onafhankelijke stochastische variabelen

Graag gedaan... Het is idd het best (en ik denk denk zelfs de enige manier) door terug te grijpen op de verdelingsfunctie en dan afleiden ;) .

Btw, ivm de notatie, gewoon ter info: die M is je sigma-algebra (in de niet-discrete gevallen) :P . De omega is gewoon de oplossingsruimte.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 28-06-'11, 09:45

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Onafhankelijke stochastische variabelen

Voor de geïnteresseerden:
Screenshot_9.png
Screenshot_9.png (14.38 KiB) 871 keer bekeken


(P. DeGroen en S. Caenepeel)
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 28-06-'11, 10:59

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Onafhankelijke stochastische variabelen

Klopt ;) . Waarbij je dan wel in de eerste stap al meteen onafhankelijkheid hebt gebruikt welteverstaan :P .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 29-06-'11, 08:18

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Onafhankelijke stochastische variabelen

In physics I trust schreef:Voor de geïnteresseerden:

[attachment=8176:Screenshot_9.png]

(P. DeGroen en S. Caenepeel)
Dit lijkt mij fout, want:
\(\int_{-\infty}^{\infty} f_X(u) du = 1\)
Omhoog

Bericht 29-06-'11, 20:26

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Onafhankelijke stochastische variabelen

Wat is er mis met:
\(\frac{d}{dx} \int_{-\infty}^{x-u}{f_Y(v)dv}=f_Y(x-u)\)
?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 30-06-'11, 08:01

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Onafhankelijke stochastische variabelen

Wat is er mis met:
\(\frac{d}{dx} \int_{-\infty}^{x-u}{f_Y(v)dv}=f_Y(x-u)\)
?
\(f_{X+Y}(x) =\frac{d}{dx}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(u) du \int_{-\infty}^{x-u} f_Y(v) dv\right) = \frac{d}{dx}\left(\int_{-\infty}^{x-u} f_Y(v) dv\right) = f_Y(x-u)\)
Ofwel een functie die niet afhankelijk is van u is gelijk aan een functie die wel afhankelijk is van u...
Omhoog

Bericht 30-06-'11, 13:02

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Onafhankelijke stochastische variabelen

Ik doe er misscheien beter aan de volledige context te geven dan, anders wordt er misschien verder geredeneerd op een te klein stukje "quote".

http://homepages.vub.ac.be/~scaenepe/statistiek.pdf

Pagina 29-30.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 30-06-'11, 13:37

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Onafhankelijke stochastische variabelen

Deze notatie vind ik raar:
\(\frac{d}{dx}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(u) du \int_{-\infty}^{x-u} f_Y(v) dv\right)\)
Omdat er kennelijk dit bedoeld wordt:
\(\frac{d}{dx}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(u) \int_{-\infty}^{x-u} f_Y(v) dv du\right)\)
Omhoog

Bericht 30-06-'11, 15:49

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Onafhankelijke stochastische variabelen

Okay, nu zie ik wat je bedoelt. Maar fout is het bewijs uiteindelijk toch niet?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 30-06-'11, 18:31

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Onafhankelijke stochastische variabelen

@Evilbro: uiteraard een zeer terechte opmerking. Ikzelf had een beetje over het notatieprobleem heengekeken ;) . Het moet inderdaad zijn zoals jij zei. Volgens mij gebeurt de notatie overigens op wel nog plaatsen zo (al is het uiteraard beter zoals jij noteert).

@IFIT: het bewijs is niet fout nee ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Kansrekening en Statistiek”