Laurentreeks uit taylorreeks

Vogeltjes

Hallo,

ik heb even een vraag over hoe je een Laurentreeks uit een Taylorreeks kunt krijgen. (Ik weet dat je de Laurentreeks ook met een integraal kan bepalen)

Als ik bv de functie 1/(z-i) heb, en wil de Laurentreeks rondom z=2 hebben, krijg ik als Taylorreeks:

SOM (n=0 tm n= oneindig) : (-1)^n maal ((z-2)/(2-i))^n .

Ik weet dat de Laurentreeks moet zijn: SOM (n=0 tm n= oneindig) (((-1)^n )/(2-i)^(n+1)) maal (z-2)^n,

ik zie dat je hem kunt krijgen uit de Taylorreeks door die te vermenigvuldigen met 1/(2-i) oftwel, vermenigvuldigen met de functie waarin je 't punt invult , waar rondom je de Laurentreeks wilt hebben, maar is dit juist, of verkrijg je de Laurentreeks op een andere manier uit de Taylorreeks?

Alvast bedankt!

Safe

Vogeltjes schreef:Hallo,

ik heb even een vraag over hoe je een Laurentreeks uit een Taylorreeks kunt krijgen. (Ik weet dat je de Laurentreeks ook met een integraal kan bepalen)

Als ik bv de functie 1/(z-i) heb, en wil de Laurentreeks rondom z=2 hebben, krijg ik als Taylorreeks:

SOM (n=0 tm n= oneindig) : (-1)^n maal ((z-2)/(2-i))^n .

Ik weet dat de Laurentreeks moet zijn: SOM (n=0 tm n= oneindig) (((-1)^n )/(2-i)^(n+1)) maal (z-2)^n,

ik zie dat je hem kunt krijgen uit de Taylorreeks door die te vermenigvuldigen met 1/(2-i) oftwel, vermenigvuldigen met de functie waarin je 't punt invult , waar rondom je de Laurentreeks wilt hebben, maar is dit juist, of verkrijg je de Laurentreeks op een andere manier uit de Taylorreeks?

Alvast bedankt!

Laat eens zien hoe je deze reeks: SOM (n=0 tm n= oneindig) (((-1)^n )/(2-i)^(n+1)) maal (z-2)^n, vindt?

Vogeltjes

Laat eens zien hoe je deze reeks: SOM (n=0 tm n= oneindig) (((-1)^n )/(2-i)^(n+1)) maal (z-2)^n, vindt?

Ik heb de n-de afgeleide bepaald van 1/(z-i) en die is (-1)^n maal n! maal 1/(z-i)^n

En toen de Taylorreeks opgesteld door het punt z=2 in te vullen in de n-de afgeleide en te vermenigvuldigen met (z-2)^n en te delen door n! en dat leverde SOM (n=0 tm n=oneindgi) (-(z-2)/(2-i))^n ...

maar hoe ik die Laurentreeks vind weet ik niet. Ik weet alleen dat dat hem moet zijn, en dat hij uit de Taylorreeks verkregen is, op de een of andere manier

Safe

Kan je gelijk de reeks opschrijven van 1/(1-z) rond z=0. Vergeet het convergentie-gebied niet.

Vogeltjes

Kan je gelijk de reeks opschrijven van 1/(1-z) rond z=0. Vergeet het convergentie-gebied niet.

die is SOM (n=0 tm oneindig): z^n met 0<|z| < 1 ..

Overigens, als ik die van 1/(1-z) wil hebben , is dat dat gewoon SOM (n=0 tm oneindig): (z-2)^n ?

Safe

Vogeltjes schreef:die is SOM (n=0 tm oneindig): z^n met 0<|z| < 1 ..

Overigens, als ik die van 1/(1-z) wil hebben , is dat dat gewoon SOM (n=0 tm oneindig): (z-2)^n ?

Kan je de eerste som gelijk stellen aan de tweede? Bovendien vergeet je het convergentie-gebied bij de tweede som.

Hoe bben je aan je eerste antwoord gekomen, Kon je deze direct opschrijven? Graag toelichten, uiteraard ivm met je vraagstelling.

Vogeltjes

Safe schreef:Kan je de eerste som gelijk stellen aan de tweede? Bovendien vergeet je het convergentie-gebied bij de tweede som.

Hoe bben je aan je eerste antwoord gekomen, Kon je deze direct opschrijven? Graag toelichten, uiteraard ivm met je vraagstelling.

Ik weet niet precies wat je bedoelt, maar ik kom sowieso niet goed uit Laurentreeksen.

Ik weet dat er geldt dat 1/(1-z) is som van die z^n, als |z|<1

En mbv die som kan ik een flink aantal Laurentreeksen maken, maar 't probleem komt dan als je 'm rond een ander punt dan 0 moet opstellen. Ik heb eens gehoord dat je 't dan met Taylorreeksen zou kunnen doen, maar hoe je vanuit een Taylorreeks dan de Laurentreeks krijgt, weet ik niet precies. (In mijn vraag wist ik wat de Laurentreeks moest worden, maar had ik 'm niet zelf gemaakt). Bovendien kun je niet altijd handig een Taylorreeks opstellen, als je met ingewikkelde functies zit waar je niet makkelijk een n-de afgeleide van kan opstellen, óf als je ergens delen door 0 zou krijgen.

bv, (z^2) / z-1 en dan rondom 1, ik zou die z^2 er buiten halen, zodat ik alleen nog maar de Laurentreeks eerst van 1/z-1 moet opstellen, maar hoe doe je dat dan precies? Taylor gaat niet werken als je de n-de afgeleide hebt dan want zou je delen door 0 krijgen.

(dit moet ik trouwens vanmiddag al kunnen

)

Safe

Dan weet ik niet of je dit nog leest.

1+z+z²+...=1/(1-z), als resultaat van de MR(Meetkundige Reeks) links. mits |z|<1.

Nu jouw probleem:

\(\frac{1}{z-i}=\frac{1}{z-2+2-i}=\frac{\frac{1}{2-i}}{1+\frac{z-2}{2-i}}=\frac{\frac{1}{2-i}}{1-\frac{z-2}{i-2}}=\frac{1}{2-i}\cdot \frac{1}{1-\frac{z-2}{i-2}}\)

Je hebt nu weer de som van een MR met reden (z-2)/(i-2) mits |(z-2)/(i-2)|<1.

Ziedaar je Laurentreeks.

Vogeltjes

Bedankt! Ik geloof dat ik 't nu wel begrijp

Safe

Bedankt! Ik geloof dat ik 't nu wel begrijp

OK! Succes.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Laurentreeks uit taylorreeks

Laurentreeks uit taylorreeks

Re: Laurentreeks uit taylorreeks

Re: Laurentreeks uit taylorreeks

Re: Laurentreeks uit taylorreeks

Re: Laurentreeks uit taylorreeks

Re: Laurentreeks uit taylorreeks

Re: Laurentreeks uit taylorreeks

Re: Laurentreeks uit taylorreeks

Re: Laurentreeks uit taylorreeks

Re: Laurentreeks uit taylorreeks