Springen naar inhoud

Monoiden en groepen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2011 - 18:20

Hey,

Ik heb een aantal vragen m.b.t groepentheorie.
(1)
Ik kom een algebra tegen genoteerd als: LaTeX . Dit is een algebra voorzien van de vermenigvuldiging (als samenstellingswet), nu kom ik echter soms ook dit tegen: LaTeX , is dit hetzelfde? ...
(2)
Ze spreken van een cyclische monoide M die gegenereerd is door LaTeX als er geldt dat elk element LaTeX te schrijven is als een macht (of natuurlijk veelvoud) van LaTeX . Maar een veelvoud en een macht zijn toch verschillend? Zo is LaTeX (de verzameling van de natuurlijke getallen voorzien van de optelling) een cyclische monoide gegereneerd door 1. Dit is toch omdat ik elk element van de natuurlijke getallen kan schrijven als een natuurlijk veelvoud van 1, nl: 2=1.2, 3=3.1, 100=100.1, ... . Maar toch niet als een macht? LaTeX ik krijg zo altijd 1.

(Als ik een antwoord heb op deze vragen komen er nog ;))

Veranderd door Siron, 06 juli 2011 - 18:33


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juli 2011 - 18:28

Ik vrees dat er iets is misgelopen of je je vragen bent vergeten ;)...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2011 - 18:34

Ik vrees dat er iets is misgelopen of je je vragen bent vergeten ;)...


Ja, ik had te snel op 'plaats bericht' getypt, nu heb ik m'n vragen nog kunnen aanpassen.
Ik heb echter nog een vraag i.v.m de stelling van Cayley, maar dat komt subiet ;).

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juli 2011 - 18:43

Hey,

Ik heb een aantal vragen m.b.t groepentheorie.
(1)
Ik kom een algebra tegen genoteerd als: LaTeX

. Dit is een algebra voorzien van de vermenigvuldiging (als samenstellingswet), nu kom ik echter soms ook dit tegen: LaTeX , is dit hetzelfde? ...

Dat hangt af van je boek. Beiden zijn alleszins de bewerking die erop inwerkt. Of dat de vermenigvuldiging is, hangt af van de auteur zelf. Maar mijn gevoel: ja, dat is hetzelfde...

(2)
Ze spreken van een cyclische monoide M die gegenereerd is door LaTeX

als er geldt dat elk element LaTeX te schrijven is als een macht (of natuurlijk veelvoud) van LaTeX . Maar een veelvoud en een macht zijn toch verschillend? Zo is LaTeX (de verzameling van de natuurlijke getallen voorzien van de optelling) een cyclische monoide gegereneerd door 1. Dit is toch omdat ik elk element van de natuurlijke getallen kan schrijven als een natuurlijk veelvoud van 1, nl: 2=1.2, 3=3.1, 100=100.1, ... . Maar toch niet als een macht? LaTeX ik krijg zo altijd 1.

Of het macht of veelvoud is, hangt af van wat voor groep je hebt. Als het een groep is met de optelling als samenstelling, is het een veelvoud. Is het een groep met vermenigvuldiging als samenstelling, dan is het een macht. Dat kun je zo onthouden: 3*1 = 1+1+1 en 1³ = 1*1*1. Dus hier gebruik je de samenstelling die bij de groep hoort.

Ik heb echter nog een vraag i.v.m de stelling van Cayley, maar dat komt subiet

[moderator]Probeer ook hier weer om het onderwerp niet té ruim te maken. Dit maakt het voor latere gebruikers makkelijker om in te pikken op je vragen hier.[/moderator]
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2011 - 19:13

De stelling van Cayley staat als bewijs bij het hoofdstuk monoiden en groepen dus ik zal het nog hier bij laten aansluiten. De stelling zegt: Elke groep LaTeX is isomorf met één van zijn transformatiegroepen. Dit is met een deelgroep van LaTeX .

Ik weet dat transformatiegroepen alle symetriegroepen en hun deelgroepen zijn vandaar de stelling, immers is een symmetriegroep een verzameling S(x) van bijectieve transformaties.

Nu komt het bewijs volgens het boek:
LaTeX definieer:
LaTeX
Ik lees dit als een permutatie van G naar G, waarbij elk argument x (in G) een beeld LaTeX (in G) door de permutatie heeft, en LaTeX gedefinieerd als LaTeX . (Klopt dit wat ik zeg?)
Het boek zegt nu dat dit een injectie is want g is regulier en daarom:
LaTeX (2)
(2) snap ik want dat volgt uit de definitie dat g regulier is (in dit geval links-regulier), maar waarom is een injectie hier het gevolg uit? Ik ken de definitie van een injectie, maar ik zie niet in hoe dit een gevolg is uit het regulier zijn van g.
(Verder verloop volgt)

Veranderd door Siron, 06 juli 2011 - 19:14


#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juli 2011 - 19:51

...
LaTeX

(2)
(2) snap ik want dat volgt uit de definitie dat g regulier is (in dit geval links-regulier), maar waarom is een injectie hier het gevolg uit? Ik ken de definitie van een injectie, maar ik zie niet in hoe dit een gevolg is uit het regulier zijn van g.

Kun je de definitie van injectief in dit specifiek geval eens geven?

(Klopt dit wat ik zeg?)

Daar komt het inderdaad op neer ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2011 - 20:01

Kun je de definitie van injectief in dit specifiek geval eens geven?


Daar komt het inderdaad op neer ;).


Zij f een afbeelding van A naar B, deze afbeelding is injectief als één beeld nooit verschillende argumenten kan hebben. In dit geval is dat volgens mij omdat elk beeld LaTeX (in G) niet meer dan één argument LaTeX (in G) heeft. Dus als ik het niet verkeerd heb, hiermee, stel LaTeX .
Maar waarom kan dit geen surjectie zijn? ...

Veranderd door Siron, 06 juli 2011 - 20:04


#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juli 2011 - 20:18

Volgens mij zit je definitie van injectiviteit een beetje mis...

Stel dat f: A->B een afbeelding is van A naar B. Dan is f injectief als en slechts als voor alle x en y in A geldt: als f(x)=f(y), dan moet x=y... Kun je hiermee verder?

Maar waarom kan dit geen surjectie zijn? ...

Wat is een surjectie? Ga dan eens na of het een surjectie is aan de hand hiervan.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2011 - 20:50

Volgens mij zit je definitie van injectiviteit een beetje mis...

Stel dat f: A->B een afbeelding is van A naar B. Dan is f injectief als en slechts als voor alle x en y in A geldt: als f(x)=f(y), dan moet x=y... Kun je hiermee verder?


Wat is een surjectie? Ga dan eens na of het een surjectie is aan de hand hiervan.


Misschien heb ik me verkeerd uitgedrukt of begrijp ik het verkeerd, maar in dit geval lijkt het me:
Stel f is een afbeelding van G naar G (f: G->G) nu is f injectief als voor alle x,y in G geldt voor de beelden: pi_g(x)=pi_g(y) dan moet x=y (dit probeerde ik ook te zeggen in mijn vorige post).
Deze definitie zie ik ook duidelijk terugkomen in (2). Verklaar dit de injectie dan? ...

Veranderd door Siron, 06 juli 2011 - 20:53


#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juli 2011 - 21:02

Misschien heb ik me verkeerd uitgedrukt of begrijp ik het verkeerd, maar in dit geval lijkt het me:
Stel f is een afbeelding van G naar G (f: G->G) nu is f injectief als voor alle x,y in G geldt voor de beelden: pi_g(x)=pi_g(y) dan moet x=y (dit probeerde ik ook te zeggen in mijn vorige post).
Deze definitie zie ik ook duidelijk terugkomen in (2). Verklaar dit de injectie dan? ...

Dit is gewoon de injectie. Het (de definitie) is een als slechts als relatie.

En als je dit bedoelde is het okee ;). Dan begreep ik je gewoon mis.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2011 - 21:35

Dit is gewoon de injectie. Het (de definitie) is een als slechts als relatie.

En als je dit bedoelde is het okee ;). Dan begreep ik je gewoon mis.


Ok ;), ik ga het bewijs nog eens bekijken nu ik bepaalde zaken beter begrijp.

Wil je nog 2 oefeningen controleren voor me? ...
Er wordt gevraagd te bepalen of volgende structuren, halfgroepen, monoiden of groepen zijn.
Bijvoorbeeld: (Z,+). Het is zeker een halfgroep, immers is deze algebra overal gedefinieerd en associatief. Ook bestaat er een neutraal element e dus een monoide en ook symmetriseerbaar. Conclusie: het is een (abelse) groep.
Bijvoorbeeld: (N_0, .). De inwendige samenstelling is hier de vermenigvuldiging. Dit lijkt me een monoide, immers bestaat er een neutraal element binnen deze algebra, maar symmetriseerbaarheid lijkt me hier niet, immers zou een symmetrisch element tot Q behoren.

Te bewijzen:
Een halfgroep (G, .) is een groep asa voor alle a,b elementen van G: ax=b en ya=b hebben een oplossing in G.
Hoe ga ik hier best te werk? Ik moet bewijzen dat het een groep is d.w.z volgens mij dat ik de halfgroep (G,.) moet uitbreiden met een neutraal element en een symmetrisch element met datgene wat gegeven is.
Maar ik weet niet helemaal hoe ik dit bewijs met ax=b en ya=b hebben een oplossing in G.
Graag een instap? ...

Veranderd door Siron, 06 juli 2011 - 21:37


#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juli 2011 - 21:55

Er wordt gevraagd te bepalen of volgende structuren, halfgroepen, monoiden of groepen zijn.
Bijvoorbeeld: (Z,+). Het is zeker een halfgroep, immers is deze algebra overal gedefinieerd en associatief. Ook bestaat er een neutraal element e dus een monoide en ook symmetriseerbaar. Conclusie: het is een (abelse) groep.

Klopt... De term 'symmetriseerbaar' is me wel vreemd, maar ik gok uit de context van een groep op 'het bestaan van een inverse (voor de samenstellingsoperator)'.

Bijvoorbeeld: (N_0, .). De inwendige samenstelling is hier de vermenigvuldiging. Dit lijkt me een monoide, immers bestaat er een neutraal element binnen deze algebra, maar symmetriseerbaarheid lijkt me hier niet, immers zou een symmetrisch element tot Q behoren.

Ook deze klopt.

Te bewijzen:
Een halfgroep (G, .) is een groep asa voor alle a,b elementen van G: ax=b en ya=b hebben een oplossing in G.
Hoe ga ik hier best te werk? Ik moet bewijzen dat het een groep is d.w.z volgens mij dat ik de halfgroep (G,.) moet uitbreiden met een neutraal element en een symmetrisch element met datgene wat gegeven is.
Maar ik weet niet helemaal hoe ik dit bewijs met ax=b en ya=b hebben een oplossing in G.
Graag een instap? ...

Hoe bewijs je een 'als slechts als'-uitspraak? Door twee beweringen na te gaan. De 'als' en de 'slechts als' bewering. Eén van beide lijkt me hier eerder triviaal. Dewelke? En waarom? Daarna bekijken we de andere.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2011 - 22:07

Klopt... De term 'symmetriseerbaar' is me wel vreemd, maar ik gok uit de context van een groep op 'het bestaan van een inverse (voor de samenstellingsoperator)'.

Ook deze klopt.


Hoe bewijs je een 'als slechts als'-uitspraak? Door twee beweringen na te gaan. De 'als' en de 'slechts als' bewering. Eén van beide lijkt me hier eerder triviaal. Dewelke? En waarom? Daarna bekijken we de andere.


In het boek wordt gesproken van symmetriseerbaar (bij de definitie van een groep).
Ik heb nog niet veel bewijsvoeringen gedaan, maar met de 'als' en 'slechts als' bewering, wat bedoel je daar juist mee?
Ik zou <=> bewijzen in 2 delen, (1) => en (2)<=, want dan geldt <=> Bedoel je dit of? ...

Veranderd door Siron, 06 juli 2011 - 22:07


#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juli 2011 - 22:27

Ik heb nog niet veel bewijsvoeringen gedaan, maar met de 'als' en 'slechts als' bewering, wat bedoel je daar juist mee?
Ik zou <=> bewijzen in 2 delen, (1) => en (2)<=, want dan geldt <=> Bedoel je dit of? ...

Dat bedoel ik inderdaad. De als slechts als is <=> en hier komt als overeen met ... En slechts als met ... Kun je aanvullen? Bij twijfel zeg je best eens wat er geweten is als je enkel een geval beschouwt. Dus:
Een groep als 'voorwaarde'
Komt overeen met
Een groep ... 'voorwaarde'
Op de puntjes moet jij een pijltje zetten. Idem met slechts als.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2011 - 22:36

Dat bedoel ik inderdaad. De als slechts als is <=> en hier komt als overeen met ... En slechts als met ... Kun je aanvullen? Bij twijfel zeg je best eens wat er geweten is als je enkel een geval beschouwt. Dus:
Een groep als 'voorwaarde'
Komt overeen met
Een groep ... 'voorwaarde'
Op de puntjes moet jij een pijltje zetten. Idem met slechts als.


Volgens mij: Een groep <= 'voorwaarde'.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures