Springen naar inhoud

Ringtheorie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2011 - 14:32

Ik zal maar een nieuw topic starten om verder vragen te stellen i.v.m ringen.
Ik begrijp volgende redenering niet:
Een lichaam en een veld kunnen geen nuldelers hebben omdat alle elementen die niet nul zijn symmetriseerbaar zijn voor de vermenigvuldiging.

Ik zie het verband niet echt tussen een nuldeler en symmetriseerbaar? ...

Veranderd door Siron, 08 juli 2011 - 14:37


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

sirius

    sirius


  • >250 berichten
  • 336 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2011 - 14:40

Ik denk dat je met symmetriseerbaar inverteerbaar bedoeld. Kies een element a, ongelijk aan nul, dan moet er een b zijn zodanig dat a*b=1. Als a een nuldeler is kan er geen b bestaan die dit doet.
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.

#3

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2011 - 14:51

Ik denk dat je met symmetriseerbaar inverteerbaar bedoeld. Kies een element a, ongelijk aan nul, dan moet er een b zijn zodanig dat a*b=1. Als a een nuldeler is kan er geen b bestaan die dit doet.


Ok, dus als a inverteerbaar is (met b als symmetrisch/invers element) dan geldt er zoals je zei: LaTeX
Maar als a een nuldeler is dan geldt er LaTeX en dit is tegenstrijdig dus kan a als nuldeler geen symmetrisch element hebben.

Maar dit is dan toch enkel voor het geval dat b het symmetrisch element is van a? Wat als b dat nu niet is? ...

Veranderd door Siron, 08 juli 2011 - 14:52


#4

sirius

    sirius


  • >250 berichten
  • 336 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2011 - 15:18

Men noemt a inverteerbaar dan en slechts dan als er een b bestaat zodat a.b=1. Als je voor b een waarde kiest zodat a.b ongelijk 1, dan heb je nog niets bewezen.
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.

#5

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2011 - 15:23

Men noemt a inverteerbaar dan en slechts dan als er een b bestaat zodat a.b=1. Als je voor b een waarde kiest zodat a.b ongelijk 1, dan heb je nog niets bewezen.


Ok! Ik begrijp het nu, bedankt.

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 juli 2011 - 15:33

Nog een iets opmerken:

Als je voor b een waarde kiest zodat a.b ongelijk 1, dan heb je nog niets bewezen.

Als je met een veld of lichaam werkt, is het vrij ridicuul om b zo te kiezen. Immers weet je dat er steeds een b bestaat zodat a.b = 1.

@Siron: als a een nuldeler is, betekent dit niet dat voor elke b geldt dat a.b = 0. Enkel dat er een b bestaat zodat a.b = 0 (en uiteraard noch a noch b het nulelement hŤ). Dit is iets anders dan wat jij zegt, lijkt me. Kun je eens je hele 'bewijs' geven?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2011 - 15:59

Er wordt heel kort over de definitie van een nuldeler gegaan zonder ergens een bewijs of stelling.
Stel a en b zijn elementen van een ring en bovendien verschillend van 0 dan wordt a een linkse en b een rechtse nuldeler genoemt als a.b=0.
Dit blijkt dus enkel zo te gelden voor een ring. In een lichaam en een veld zitten dus geen nuldelers vanwege die inverteerbaarheid.
Als b de inverse is van a dan geldt er a.b=1 dus kan a zeker geen nuldeler zijn vanwege de tegenstrijdigheid met a.b=0 als a wel een nuldeler is.
Als b niet de inverse is van a, hoe moet ik het dan bezien? ...

Bovendien heft toch niet elke ring nuldelers? Bijvoorbeeld LaTeX is een commutatieve ring, maar bevat zeker geen nuldelers.

Veranderd door Siron, 08 juli 2011 - 16:03


#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 juli 2011 - 16:03

Als b de inverse is van a dan geldt er a.b=1 dus kan a zeker geen nuldeler zijn vanwege de tegenstrijdigheid met a.b=0 als a wel een nuldeler is.

Dit bedoel ik net. Het is niet omdat a.b niet 0 is, dat er sowieso geen c is, zodat a.c = 0! De beste manier is om zo te beginnen:
Stel dat a een nuldeler is. Dan bestaat er een d (ik gebruik d zodat er geen verwarring ontstaat) zodat a.d = 0. Dan... Nu moet jij aanvullen tot je een tegenstrijdigheid bekomt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2011 - 16:13

Dit bedoel ik net. Het is niet omdat a.b niet 0 is, dat er sowieso geen c is, zodat a.c = 0! De beste manier is om zo te beginnen:
Stel dat a een nuldeler is. Dan bestaat er een d (ik gebruik d zodat er geen verwarring ontstaat) zodat a.d = 0. Dan... Nu moet jij aanvullen tot je een tegenstrijdigheid bekomt.


Is het belangrijk hierbij dat er in een ring gewerkt wordt? ...
Stel a is een nuldeler d.w.z a is zowel een linkse als rechtse nuldeler dus er bestaat een niet nul-zijnde d zodat: a.d=0 en ook d.a=0 (vanwege links-en rechtse nuldeler). Maar in een ring is de vermenigvuldiging niet commutatief.

Veranderd door Siron, 08 juli 2011 - 16:17


#10

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2011 - 16:43

Ik wilde even zeggen dat ik iets anders had gevonden dat me logischer leek. Eerst even alles op een rij zetten:
Een veld (of een lichaam) kan geen nuldelers bevatten wegens de inverteerbaarheid t.o.v de vermenigvuldiging. Nu stel a is een element van een veld met haar inverse LaTeX als a een nuldeler zou zijn zou er moeten gelden voor elke b (die niet nul is): LaTeX , nu zou er even goed kunnen gelden: LaTeX wat voor een tegenstrijdigheid zorgt, maar even goed LaTeX en ik moet nu bewijzen dat a nog steeds geen nuldeler kan zijn vanwege dat a in een veld zit. Ik zou zeggen, vermits a en b elementen zijn van het veld (en niet 0) hebben ze beiden een invers element, nl voor a is dat LaTeX en voor b is dat LaTeX . Als a een nuldeler zou zijn geldt er:
LaTeX .
Ik vermenigvuldig nu beide leden met de inverse elementen van a en b:
LaTeX
LaTeX
Dit is strijdig dus heeft een veld geen normaaldelers vanwege de inverteerbaarheid.

Veranderd door Siron, 08 juli 2011 - 16:44


#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 juli 2011 - 16:43

Je begaat weer dezelfde fout. Een linkse en rechtse nuldeler moet niet op hetzelfde element werken.

Maar makkelijker is zo: stel dat er een d is zodat a.d = 0. Neem nu c zodat d.c =1 is. Dan is a.(d.c) = 0 (waarom?). Dit betekent per definitie dat a het nulelement is (waarom?).
Kun je dit mooier beargumenteren allemaal?

EDIT: jou manier klopt ook wel... Alleen maak je het moeilijker dan nodig met dat onderscheid. Dat is echt overbodig.

EDIT2: ik merk net iets op. Je maakt weer dezelfde fout: een nuldeler a betekent NIET dat voor elke b a.b = 0! Enkel dat er EEN b bestaat zodat a.b = 0.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2011 - 16:49

Je begaat weer dezelfde fout. Een linkse en rechtse nuldeler moet niet op hetzelfde element werken.

Maar makkelijker is zo: stel dat er een d is zodat a.d = 0. Neem nu c zodat d.c =1 is. Dan is a.(d.c) = 0 (waarom?). Dit betekent per definitie dat a het nulelement is (waarom?).
Kun je dit mooier beargumenteren allemaal?


Omdat d.c=1 en dus a.1=0 moet a wel degelijk 0 zijn en kan a geen nuldeler zijn.

@EDIT 2:
Ok, nu begrijp ik wel beter wat een nuldeler inhoudt.

Veranderd door Siron, 08 juli 2011 - 16:51


#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 juli 2011 - 17:59

Omdat d.c=1 en dus a.1=0 moet a wel degelijk 0 zijn en kan a geen nuldeler zijn.

Mooi ;). Klopt!

@EDIT 2:
Ok, nu begrijp ik wel beter wat een nuldeler inhoudt.

Kun je, denk je, met deze definitie van nuldeler dan jouw bewijs aanpassen? Of is het een 'verloren' bewijs? (Overigens, een verloren bewijs is niets ergs hŤ, vaak zie je daar waar het schoentje wringt.)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#14

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juli 2011 - 10:17

Ik moest toch bewijzen dat een veld (of lichaam) geen nuldelers kan bezitten?
Nu waar ik de mist in ging was om te zeggen dat voor elke b a.b=0 en a een nuldeler is, er is slechts een b.
Stel b was een invers element van a dan kon a zeker geen nuldeler zijn dus er is hier ook een b waarvoor a geen nuldeler is.
Nu wat moet ik nu bewijzen? Als ik toch bewijs dat er voor geen enkele b a.b=0 en dus a geen nuldeler is dan heb ik toch bewezen dat een veld geen nuldelers kan hebben? Of? ...
Ik begrijp de definitie van een nuldeler nu wel, maar ik vind het nogal lastig om er dit bewijs mee te gaan voeren, lastige dingen die nuldelers ;).

Veranderd door Siron, 09 juli 2011 - 10:18


#15

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 juli 2011 - 10:25

Ik zal je twee mogelijke bewijzen (ruw geschetst geven). Het eerste heb ik je al gegeven: zie post #11.

Nu met jouw bewijs. Laat even heel het idee varen van dat onderscheid te maken. Dat is totaal overbodig. Begin gewoon zo: stel dat a een nuldeler is. Dan bestaat er een b (niet 0) zodat a.b = 0 (en idem een c zodat c.a = 0; ik werk enkel verder met a.b, het andere volgt analoog). Daar we in een (commutatief) lichaam werken, weten we dat er a' en b' bestaan zodat a.a' = a'.a = 1 en b.b' = b'.b = 1. Dus zo bekomen we dat: 1 = 1.1 = a'.a.b.b' = a'.0.b' = 0. Maar dit kan niet (buiten in de triviale ring). Dus a kan geen nuldeler zijn. Daar a willekeurig gekozen was, heeft een (commutatief) lichaam geen nuldelers.

Nu heb ik hierbij 2 vragen voor jou:
- klopt dit bewijs?
- is de volgorde van de elementen in "1 = 1.1 = a'.a.b.b' = a'.0.b' = 0" belangrijk?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures