Springen naar inhoud

Vermenigvuldigen van natuurlijke getallen


  • Dit onderwerp is gesloten Dit onderwerp is gesloten

#1

hendrik h

    hendrik h


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 juli 2011 - 20:42

Is ieder product van twee of meer natuurlijke getallen altijd gedefinieerd.

De natuurlijke getallen zijn {n} = 1, 2, 3, 4, ..., ..., pi met i =1, 2, 3, ..., oneindig.
Er zijn LaTeX natuurlijke getallen en LaTeX pi = LaTeX

7 x 5 =35

10100 x 10100 = 10200

LaTeX pi-1 x pi = LaTeX
LaTeX 5 pi = LaTeX


Het product van pi met pi gaat naar LaTeX en het product van pi met 5 gaat naar LaTeX oneindig. Dan kan er van alles bewezen worden.

Wanneer is het product van twee of meer natuurlijke getallen geen meer gedefinieerd?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 juli 2011 - 21:20

Is ieder product van twee of meer natuurlijke getallen altijd gedefinieerd.

Ja, en het is weer een natuurlijk getal.

#3

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 11 juli 2011 - 22:02

Werken met limieten, rijen en reeksen vraagt de nodige zorgvuldigheid, anders krijg je tegenstrijdigheden.

#4

hendrik h

    hendrik h


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 juli 2011 - 20:50

Het vermenigvuldigen van grote getallen komt voor om vraagstukken op te lossen.


Het aantal natuurlijke getallen is {n} = 1, 2, 3, 4, 5, ..., n met n = 1, 2, 3, 4, 5, ... ,LaTeX

De natuurlijke getallen zijn onder te verdelen. Er zijn even en oneven getallen. Veelvouden van 2, 3 enz.

De helft van de getallen in even en de helft van de getallen is oneven.

Als er N opeenvolgende getallen genomen worden dan zijn er 1/2N even en 1/2N oneven.

Nu gaat N naar LaTeX .

LaTeX 1/2N = LaTeX .

Dan zijn evenveel even getallen als natuurlijke getallen. Dat lijkt mij niet goed. Waar wordt een wiskundige regels overtreden?

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 juli 2011 - 21:09

Het is niet omdat je als limiet voor beiden oneindig bekomt, er van beiden evenveel zijn hŤ. In dit geval, hoe contradictief ook, klopt het echter wťl: er zijn venveel natuurlijke als even positieve gehele getallen. Dit alles heeft te maken met de kardinaliteit van een verzameling. Maar afhankelijk van je niveau, is dit iets te hoog gegrepen vrees ik...

In het kort komt het hierop neer: twee verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als er een bijectie is tussen beide verzamelingen. Hier is er zo eentje. Kun je bedenken dewelke?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 13 juli 2011 - 21:20

Bekijk eens hoe de precieze definitie van dergelijke oneigenlijke limieten luidt.

Dan zie je dat er in de gevonden uitkomsten geen logische tegenstrijdigheid zit.

Wel is het zo dat zulke uitkomsten botsen met de intuÔtie. Daar valt wel een mouw aan te passen, maar dan heb je een getallensysteem nodig waarin oneindig grote "getallen" beschikbaar zijn. Binnen het gebruikelijke reŽle getallensysteem is dat niet zo.

Deze kwestie is al eens aan de orde geweest in dit topic:

http://www.wetenscha...howtopic=108730

Veranderd door Bartjes, 13 juli 2011 - 21:22


#7

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 juli 2011 - 07:09

Het aantal natuurlijke getallen is {n} = 1, 2, 3, 4, 5, ..., n met n = 1, 2, 3, 4, 5, ... ,LaTeX

LaTeX is geen natuurlijk getal.

De helft van de getallen in even en de helft van de getallen is oneven.

De helft van een oneindige hoeveelheid is betekenisloos.

#8

hendrik h

    hendrik h


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2011 - 21:48

LaTeX

is geen natuurlijk getal.


De helft van een oneindige hoeveelheid is betekenisloos.


Ik ken de betekenis van het woord betekenisloos in de wiskunde niet. Is dit niet gedefinieerd of niet zinvol.

Het gaat nog steeds over de vraag of het product van twee natuurlijke getallen altijd gedefinieerd is.
De aanleiding is de opmerking die ik las over het aftrekken met natuurlijke getallen:
"a - b = c is alleen zinvol als a > b". Er is geen negatief natuurlijk getal.

Bij gehele getallen is aftrekken altijd mogelijk omdat er zowel positieve als negatieve getallen zijn.

Neem een deelverzameling van de natuurlijke getallen met een grootte N en vanaf getal 1. Het aantal even getallen is 1/2N en het aantal oneven getallen is 1/2N.

Nu wordt N steeds groter gekozen. Zolang N een getal is gaat het goed. Maar neem ik de limiet, dus alle natuurlijke getallen dan is de bewerking "betekenisloos".

De natuurlijke getallen hebben een voorganger en een opvolger. Getal 1 heeft geen voorganger. Als men gaat tellen dan kan men hiermee uit de voeten. Ter afsluiting is LaTeX ingevoerd.

Vermenigvuldigen is herhaal optellen. Maar wordt er vermenigvuldigd met getallen van 10100 of groter dan stap je met zevenmijls laarzen door de natuurlijke getallen. Het zou logisch zijn dit vermenigvuldigen af te sluiten als LaTeX "overschreden" wordt. Ik heb nog geen idee hoe ik dit wiskundig zou moeten schrijven.

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 14 juli 2011 - 21:59

Ter afsluiting is LaTeX

ingevoerd.

Oneindig is via een limiet ingevoerd en is geen getal en betreft alle reŽle getallen.
Waarom wil je of moet je met oneindig werken?
Oneindig wil bij natuurlijke getallen eigenlijk alleen maar zeggen: er is geen grootste natuurlijk getal. Mooi!?!

#10

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 14 juli 2011 - 22:16

Over oneindigheid in de wiskunde valt zeer veel te zeggen. Een populaire inleiding is:

http://nl.wikipedia....ty_and_the_Mind

#11

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 juli 2011 - 07:29

Het gaat nog steeds over de vraag of het product van twee natuurlijke getallen altijd gedefinieerd is.

Als je denkt van niet, geef dan maar een tegenvoorbeeld van 2 natuurlijke getallen waarvan het product niet gedefinieerd is.

Neem een deelverzameling van de natuurlijke getallen met een grootte N en vanaf getal 1. Het aantal even getallen is 1/2N en het aantal oneven getallen is 1/2N.

Nu wordt N steeds groter gekozen. Zolang N een getal is gaat het goed. Maar neem ik de limiet, dus alle natuurlijke getallen dan is de bewerking "betekenisloos".

Bekijk de volgende som eens:
LaTeX
Bekijk nu sommen met een even aantal termen. Dan is de som nu 0. Volgens jouw redenatie moet dan de waarde van de limiet (oneindig veel termen) ook 1 zijn. Bekijk nu sommen met een oneven aantal termen. Nu is de som 1.
Conclusie: jouw redenatie klopt niet. Je kan niet zomaar concepten die werken bij eindige situaties toepassen op oneindige situaties.

Stel dat je 'de helft van de natuurlijke getallen' definieert als een van twee verzamelingen die evenveel elementen bevatten en waarvan de samenvoeging (union) de verzameling is van de natuurlijke getallen. Je zou dan dus kunnen zeggen dat de even getallen de helft van de natuurlijke getallen is. Dit lijkt redelijk overeen te komen met je gevoel voor wat de helft is. Realiseer je echter dat de verzameling van alle priemgetallen ook de helft is van de natuurlijke getallen (aan elk priemgetal kan je immers een niet-priemgetal koppelen). Ik vermoed dat dit niet overeen komt met je gevoel voor de helft.

De natuurlijke getallen hebben een voorganger en een opvolger.

Dit is onjuist, zoals je zelf overigens al opmerkt. Elk natuurlijk getal heeft een opvolger. Niet elk natuurlijk getal heeft een voorganger.

Ter afsluiting is LaTeX

ingevoerd.

Nee. LaTeX is geen natuurlijk getal. Er is geen grootste natuurlijk getal. Jij kan natuurlijk een andere oneindige verzameling verzinnen die lijkt op de natuurlijke getallen maar wel een grootste getal bezit. Dat is prima, maar noem het dan niet de natuurlijke getallen. Die term heeft immers al een algemeen geaccepteerde betekenis.

#12

hendrik h

    hendrik h


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 juli 2011 - 21:44

De deelverzamelingen die ik op het oog heb zijn:

De even natuurlijke getallen en de oneven natuurlijke getallen vanaf 1 t/m N

even getallen: {ne} = 2, 4, 6, 8, 10, ..............N/2
oneven getallen: {no} = 1, 3, 5, 7, 9, .............N/2

In beide verzamelingen zitten 1/2N getallen. Deze N nadert toe LaTeX .
Zolang N een getal is, is 1/2N uit te rekenen.
Maar als N naar oneindig gaat dan krijgen we de limiet LaTeX (1/2.N) = 1/2 .LaTeX en is het betekenisloos.

De helft van oneindig is "betekenisloos" volgens EvrilBro.
Het woord"betekenisloos" is mij in de wiskunde onbekend. Waar van het het idee maak ik gaarne gebruik.

Het voorbeeld waarbij het product van twee natuurlijke getallen niet "betekenisloos" zijn is

2 x (1/2.ni +k), waarin ni het grootste natuurlijke getal is en k een natuurlijk getal groter of gelijk aan 1.

#13

hendrik h

    hendrik h


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 juli 2011 - 22:38

Als je denkt van niet, geef dan maar een tegenvoorbeeld van 2 natuurlijke getallen waarvan het product niet gedefinieerd is.


Nee. LaTeX

is geen natuurlijk getal. Er is geen grootste natuurlijk getal. Jij kan natuurlijk een andere oneindige verzameling verzinnen die lijkt op de natuurlijke getallen maar wel een grootste getal bezit. Dat is prima, maar noem het dan niet de natuurlijke getallen. Die term heeft immers al een algemeen geaccepteerde betekenis.



De natuurlijke getallen is een verzameling die per axioma oneindig veel elementen bezit.

Er zijn even natuurlijke getallen en oneven natuurlijke getallen. Geen ťťn even getal is een oneven getal. Er zijn ook priemgetallen. Priemgetallen zijn getallen die alleen door 1 en door zichzelf deelbaar zijn. De priemgetallen zijn dus een deelverzameling van de oneven getallen.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 juli 2011 - 00:16

De priemgetallen zijn dus een deelverzameling van de oneven getallen.

Nee hoor, 2 is even en priem.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 juli 2011 - 09:54

Het voorbeeld waarbij het product van twee natuurlijke getallen niet "betekenisloos" zijn is

2 x (1/2.ni +k), waarin ni het grootste natuurlijke getal is en k een natuurlijk getal groter of gelijk aan 1.

Er is geen grootste natuurlijk getal.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures