Springen naar inhoud

Definitie van een limiet


  • Log in om te kunnen reageren

#1

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juli 2011 - 17:56

Als f:ALaTeX R of C en c een ophopingspunt van A is, dan is lim(xLaTeX c) f(x)=L als en slechts dan als voor elke LaTeX -omgeving V(LaTeX )(L) van L een LaTeX -omgeving V(LaTeX )( c ) van c kan worden gevonden waarvoor

f(V(LaTeX )( c )LaTeX (A\{c}))LaTeX V(LaTeX )(L).

Dit is een parafrasering van de definitie van de limiet met behulp van omgevingen-terminologie. Ik probeer dit nu te bewijzen:

De gewone definite van een limiet is:

lim(xLaTeX c) f(x)=L als er voor elke LaTeX >0 een LaTeX (LaTeX ) bestaat waarvoor geldt dat van zodra x LaTeX A én 0<|x-c|<LaTeX (LaTeX ) dan |f(x)-L|<LaTeX .

Hieruit kan ik direct halen dat :

f(x)LaTeX V(LaTeX )(L) van zodra xLaTeX V(LaTeX )( c )

Als ik het rechterlid nu vervang door: van zodra f(x)LaTeX f(V(LaTeX )( c )) kom ik direct aan de stelling maar volgens mij mag je dit enkel maar doen voor injectieve functies.

Kan iemand helpen?

Sorry van de slechte notaties maar ik weet niet hoe ik subscricpts moet gebruiken.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44894 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 juli 2011 - 19:08

Sorry van de slechte notaties maar ik weet niet hoe ik subscricpts moet gebruiken.

Zie http://www.wetenscha...howtopic=134114
paragraaf 2.1.1
en andere paragrafen voor een volledig overzicht van de meeste gebruikte door dit forum ondersteunde LaTeX-functies.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 juli 2011 - 19:12

Verplaatst naar Analyse.

Verder heb ik wat moeite met een paar dingen/notaties die je gebruikt. Wat is bijv iets als V( ;) )(L)? Een open omgeving rond het punt L met 'straal' epsilon?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juli 2011 - 19:25

Verder heb ik wat moeite met een paar dingen/notaties die je gebruikt. Wat is bijv iets als V( ;) )(L)? Een open omgeving rond het punt L met 'straal' epsilon?


Dit is inderdaad wat het is, de epsilon staat dan wel als subscript normaal. Dit is een zogenaamde epsilonomgeving dacht ik.

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 juli 2011 - 21:40

Sorry, eventjes uit het oog verloren. Lukt de andere richting van de stelling je wel?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2011 - 22:25

Ik denk het wel aangezien je dan het probleem niet hebt van niet-injectieve functies.

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 juli 2011 - 21:43

Als je eens tekent wat deze stelling zegt, kun je dit dan tekenen voor een niet-injectieve functie ( evt beperkt tot een kleiner domein).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 juli 2011 - 23:50

is het zo dat je in het bewijs er van uit moet gaan dat je omgeving zo klein is dat het nooit een niet-injectief deel omvat?

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 juli 2011 - 23:58

Als je er gewoon over nadenkt, kun je dan een vb geven waar f in de buurt (willekeurig dicht dus) van je limietpunt niet-injectief is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 juli 2011 - 11:41

als f(x)=sin(x) en x nadert naar Pi/2, dus L=1.

Om tot een bewijs te komen moet volgens mij

f(x)LaTeX f(LaTeX ( c ))LaTeX xLaTeX LaTeX ( c )

En dit is niet het geval voor bovenstaande functie aangezien voor LaTeX =Pi/2, f(x)=1/2 niet betekent dat x=Pi/6

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 juli 2011 - 11:47

Maar dat is geen willekeurig dichte omgeving lijkt me? Lijkt het je niet dat je bij de 'gewone' definitie hier ook gebruik van maakt dat het willekeurig klein wordt?

PS: ik vrees dat het wat verwarrend voor je begint te worden. Indien je er na deze post nog geen idee van hebt, zal ik eens een bewijs 'uitwerken'...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 juli 2011 - 12:04

Ik zie niet in hoe de grootte van de omgeving er toe doet. Als mijn delta uit vorig voorbeeld nu heel klein is, en ik neem hier een willekeurig punt x uit en zoek het beeld f(x)=sinx.

Dan zit het punt f(x) zeker in het beeld van de kleine delta-omgeving, maar hier kan je toch niet uit besluiten dat x in de delta-omgeving zit aangezien nog andere punten f(x) als beeld hebben?

#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 juli 2011 - 12:22

Ik weet niet goed hoe ik je het moet duidelijk maken eerlijk gezegd...

Vind je het intuďtief duidelijk dat: als f continu is in x0, dan is LaTeX ?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#14

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 juli 2011 - 12:30

Dit is wat we proberen te bewijzen he toch? Ik zie in dat het zo is ja.

#15

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 juli 2011 - 12:35

Dit is inderdaad wat je wilt bewijzen... En kun je dan ook intuďtief uitleggen (evt met een plaatje) waarom dit 'logisch' is voor een continue functie?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures