\(\rightarrow\)
R of C en c een ophopingspunt van A is, dan is lim(x\(\rightarrow\)
c) f(x)=L als en slechts dan als voor elke \(\epsilon\)
-omgeving V(\(\epsilon\)
)(L) van L een \(\delta\)
-omgeving V(\(\delta\)
)( c ) van c kan worden gevonden waarvoorf(V(
\(\delta\)
)( c )\(\cap\)
(A\{c}))\(\subset\)
V(\(\epsilon\)
)(L).Dit is een parafrasering van de definitie van de limiet met behulp van omgevingen-terminologie. Ik probeer dit nu te bewijzen:
De gewone definite van een limiet is:
lim(x
\(\rightarrow\)
c) f(x)=L als er voor elke \(\epsilon\)
>0 een \(\delta\)
(\(\epsilon\)
) bestaat waarvoor geldt dat van zodra x \(\in\)
A én 0<|x-c|<\(\delta\)
(\(\epsilon\)
) dan |f(x)-L|<\(\epsilon\)
.Hieruit kan ik direct halen dat :
f(x)
\(\in\)
V(\(\epsilon\)
)(L) van zodra x\(\in\)
V(\(\delta\)
)( c )Als ik het rechterlid nu vervang door: van zodra f(x)
\(\in\)
f(V(\(\delta\)
)( c )) kom ik direct aan de stelling maar volgens mij mag je dit enkel maar doen voor injectieve functies. Kan iemand helpen?
Sorry van de slechte notaties maar ik weet niet hoe ik subscricpts moet gebruiken.
)(L)? Een open omgeving rond het punt L met 'straal' epsilon?