Springen naar inhoud

De variabele van een polynoomring


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juli 2011 - 19:14

Zitten er beperkingen aan wat de variabele van een polynoomring R[x] kan zijn? Kan het bijvoorbeeld alleen maar een getal zijn, of ook een verzameling?

Neem bijvoorbeeld de restklasse 1 = {..., -5, -3, 1, 3, 5,...} uit Z\2Z. Als je dan zegt 1*x=x, krijg je x={...,-5x, -3x, x, 3x, 5x}. Maar als je x als verzameling definieert kom je weer de problemen als je bijvoorbeeld x^2 hebt. Hoe zit dit?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 juli 2011 - 19:25

Verplaatst naar Algebra.

Ik snap je vraag eerlijk gezegd niet goed... Kun je het verduidelijken (evt met een voorbeeld)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juli 2011 - 20:08

Simpel gezegd: wat is de uitkomst van bijvoorbeeld 1*x, met 1={..., -5, -3, 1, 3, 5,...}? Is het een verzameling? Zo ja, geldt dan nog wel dat 1*x=x?

Sorry als het nog helemaal duidelijk is, dat is het voor mezelf ook nog niet helemaal.

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 juli 2011 - 20:15

Simpel gezegd: wat is de uitkomst van bijvoorbeeld 1*x, met 1={..., -5, -3, 1, 3, 5,...}? Is het een verzameling? Zo ja, geldt dan nog wel dat 1*x=x?

De uitkomst van wat? Je hebt geen vergelijking lijkt me? En dat is toch een basisvoorwaarde voor uitkomsten te kunnen hebben ;).

Helaas ben ik nog niet volledig mee met waar je naartoe wilt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juli 2011 - 20:33

De uitkomst van wat? Je hebt geen vergelijking lijkt me? En dat is toch een basisvoorwaarde voor uitkomsten te kunnen hebben ;).

Ik bedoelde "uitkomst" als in de zin van: "de uikomst van 2*2 is 4". Misschien was "product" een beter woord geweest. ;) Dus wat ik bedoelde was: wat is het product van 1*x?

Mocht er nog verwarring zijn dat zal ik zeggen wat ik denk. Het lijkt me logisch dat 1*x = x. Dus {..., -5, -3, 1, 3, 5,...}*x = {..., -5x, -3x, x, 3x, 5x,...} = x. Maar als dit klopt, wat is dan x^2?

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 juli 2011 - 20:44

Je moet dan om zo een dingen te mogen (of zelfs kunnen) noteren een zeer goed onderscheid moeten maken tussen het getal 1 en de restklasse 1. Dat is namelijk zeer verraderlijk. Hetzelfde geldt trouwens voor x. En bijgevolg ook voor x≤.

Meestal noteert men restklassen met bijv 1 (soms ook met de streep erboven).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juli 2011 - 20:52

Hetzelfde geldt trouwens voor x. En bijgevolg ook voor x≤.

Dus je moet een onderscheid maken tussen x en x? En de "x" in (Z/2Z)[x]? Dat is toch wel de gewone x, neem ik aan?

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 juli 2011 - 21:02

Dus je moet een onderscheid maken tussen x en x?

Van zodra je aan x een waarde wilt toekennen, wel ja... Zolang het een variabele is van een veelterm, maakt dat niet uit. Dit beantwoordt denk ik meteen:

En de "x" in (Z/2Z)[x]? Dat is toch wel de gewone x, neem ik aan?

Dat is gewoon een variabele en is dus in zekere zin inderdaad de 'gewone' x. Werken met polynomen in restklasseringen is sowieso een vrij hekel punt waar 'speciale' regels voor gelden.

Het makkelijkst (voor jezelf) is om gewoon steeds met de restklasses te werken.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juli 2011 - 21:09

Van zodra je aan x een waarde wilt toekennen, wel ja... Zolang het een variabele is van een veelterm, maakt dat niet uit.

Okť, dat is duidelijk. ;)

Dat is gewoon een variabele en is dus in zekere zin inderdaad de 'gewone' x. Werken met polynomen in restklasseringen is sowieso een vrij hekel punt waar 'speciale' regels voor gelden.

Fijn om te weten dat het niet helemaal aan mij ligt. ;)

Dus ter conclusie: je mag gewoon zeggen dat 1*x = x?

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 juli 2011 - 21:12

Dat mag je inderdaad zeggen ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2011 - 16:59

Dan heb ik nu de vraag:

"Vind alle nulpunten uit Z/12Z van het polynoom x^2+11 ∈ (Z/12Z)[x]."

Ik heb geen idee hoe ik dit op moet lossen. Als je worteltrekt krijg je de wortel van een negatieve restklasse als antwoord, en ik weet niet zo'n uitdrukking wel gedefinieerd is. ;)

Veranderd door Tempus, 14 juli 2011 - 17:00


#12

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2011 - 17:52

Merk op dat x =1 een oplossing is, en ga na dat x = 5 de andere gezochte oplossing is.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#13

Jordy19

    Jordy19


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2011 - 20:28

Er zijn nog twee oplossingen namelijk x=7 en x=11

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 juli 2011 - 20:36

Makkelijkste manier is om in eerste instantie dit te doen: in de ring (Z/12Z) is +11 hetzelfde als -1. Dus word je veelterm x≤-1 en dan moet je dus die x'en zoeken zodat (x≤)mod(12)=1. Zie je dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2011 - 22:36

Makkelijkste manier is om in eerste instantie dit te doen: in de ring (Z/12Z) is +11 hetzelfde als -1. Dus word je veelterm x≤-1 en dan moet je dus die x'en zoeken zodat (x≤)mod(12)=1. Zie je dit?

Je zoekt de oplossingen van x^2=1, maar omdat x^2 een element is van een restklasse modulo 12 zoek je eigenlijk naar de oplossingen van: x^2=1=13=25=37=49... Dit zijn allemaal veelvouden van 12 met rest 1. (Ik herken hier al de eerder genoemde oplossingen 1, 5 en 7.) Dus zijn je oplossingen die x'en waarvoor geldt (x^2)mod(12)=1.

Veranderd door Tempus, 14 juli 2011 - 22:37






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures