Stelling
Als f: A
\(\rightarrow\)
R, g: A\(\rightarrow\)
R, h: A\(\rightarrow\)
R, c een ophopingspunt van A is, f(x)\(\leq\)
g(x)\(\leq\)
h(x) voor alle x in A\{c} en lim\(_{x->c}\)
f(x)=lim\(_{x->c}\)
h(x)=L, dan is ook lim\(_{x->c}\)
g(x)=LBewijs
\(\forall\epsilon\)
\(,\exists\)
{\(\delta_1,\delta_2\)
}:|x-c|<
\(\delta_1\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon\)
|x-c|<\(\delta_2\Rightarrow|h(x)-L|<\epsilon\)
Zij\(\delta=min(\delta_1,\delta_2}\)
)\(\forall x \in V_{\delta}( c)\cap A\)
\{c}: \(inf (V_\epsilon (L)) \leq g(x) \leq sup (V_\epsilon (L))\)
Aangezien \(\epsilon\)
willekeurig>0 is zal lim\(_{x->c}\)
g(x)=L.
. Pas dit ( het eerste) eens toe op