Wortels zoeken; complexe getallen.

doantsen

De opgave is de volgende:

Geef de overige wortels als je weet dat 2 - 2j een wortel is.

\(z^3-9z^2+20z+8=0\)

[/b]

_______________________________

Ik ga als volgt te werk:

De voorgetallen zijn reëel, dus zeg ik dat 2 + 2j ook een oplossing is.

De complexe oplossingen komen in dit geval steeds in paren voor, dus de 3e oplossing zal een reële oplossing zijn.

Ik gebruik de 2 gevonden oplossingen om de 3e te vinden door:

\((z-2+2j)*(z-2-2j)*(z-a) = z^3-9z^2+20z+8\)

[/b] Met a dus de reële oplossing.

Maar hier zit ik dus vast... Bij verdere uitwerking hiervan bekom ik geen oplossing!

Dit is een oefening die ik ergens uit een oud examen heb gehaald dus ik beschik niet over een oplossing.

Kan iemand mij de juiste oplosmethode geven of zeggen hoe ik verder moet?

thanks

Safe

Bereken het product:

((z-2)+2j)((z-2)-2j)

Klopt je opgave?

doantsen

De opgave is zeker juist.

Voor dat product bekom ik:

\(... = z^2-4z+8\)

JorisL

Dan vul je dat toch in in het linkerlid van je vorige vergelijking. Dan kan je de derde machten van z schrappen. Waardoor je een makkelijk oplosbare 2de graadsvgl vindt (met 1 oplossing denk ik dus D = 0)

EvilBro

doantsen schreef:De opgave is de volgende:

Geef de overige wortels als je weet dat 2 - 2j een wortel is.

\(z^3-9z^2+20z+8=0\)
[/b]

De opgave klopt niet. Vul

\(2 - 2 j\)

maar eens in.

Hoe je tewerk zou moeten gaan:

\(2 - 2 j\)

is een wortel dus

\(z^3-9z^2+20z+8\)

is deelbaar door

\(z - (2 - 2 j)\)

. Voer die deling uit.

doantsen

Aargh dan is er een fout in de opgave geslopen!

Stel dat de opgave toch juist was.

Is dit dan de juiste methode?

Dus z^3 schrappen, een 2e graadsvgl bekomen met een discriminant die 'a' bevat.

Vervolgens deze discriminant gelijkstellen aan 0.

Klopt de methode?

Safe

doantsen schreef:Aargh dan is er een fout in de opgave geslopen!

Stel dat de opgave toch juist was.

Is dit dan de juiste methode?

Dus z^3 schrappen, een 2e graadsvgl bekomen met een discriminant die 'a' bevat.

Vervolgens deze discriminant gelijkstellen aan 0.

Klopt de methode?

Dus z^3 schrappen

Dit klinkt al heel vreemd, doe eens voor wat je bedoelt.

z³-3z²+4z+8=0 voldoet aan het gegeven.

doantsen

Wel ja, ik bedoel dus die vergelijking gelijkstellen aan die van de opgave.

Waarna je z^3 kan schrappen

Moet dringend leren niet te lang te blijven stilstaan als het niet lukt...

Heb een andere oefening gemaakt en deze lukte!

In ieder geval heel erg bedankt!

Safe

Laat het eens zien, misschien heb je dan gelijk het antwoord op je idee.

doantsen

Die vraag is wel wat anders, maar toch gelijkaardig.

Los op als je weet dat één vd opl reëel is.

\(4z^3-6sqrt(3)jz^2-3(3+sqrt(3)j)z-4=0\)

___________________________________

Daaruit haal ik 2 vgln:

R: 4z^3-9z-4=0

C: -6sqrt(3)z^2-3sqrt(3)z=0

Dit zijn telkens de reële en de imaginaire delen die elk op zich gelijk aan 0 moeten zijn.

Uit C haal ik als oplossingen z1,2= 0 en -0.5

Die -0.5 is de reële oplossing (ook een oplossing van R, dit moet!)

De andere (complexe) opl van R haal ik door de R te schrijven als

(z+0.5)(az^2+bz+c) = beginvgl

Dit levert een stelsel waaruit:

a=4

b=-2-6sqrt(3)j

c=-8

Dan bereken ik gewoon de nulpunten van az^2+bz+c = 0 (met a,b,c uit het stelsel)

Dit klopt.

De vraag is hier wel anders... Hier weet je dat er 1 reële opl is.

Ik vraag me dus gewoon af als het omgekeerd is:

Er is een compl oplossing gegeven, dus compl toeg. is ook een opl, of je dan voor die laatste reële oplossing de discriminant gelijk aan 0 moet stellen om daaruit de opl te halen.

Ik vermoed van wel?

Safe

<b>
\(z^3-9z^2+20z+8=0\)

Kijk, je hebt dus staan: (z-a)(z²-4z+8)=z³-9z²+20z+8

Het vb wat je geeft is een heel andere en is goed opgelost. Maar nu wat je hierboven hebt ...

doantsen

Safe schreef:Kijk, je hebt dus staan: (z-a)(z²-4z+8)=z³-9z²+20z+8

Het vb wat je geeft is een heel andere en is goed opgelost. Maar nu wat je hierboven hebt ...

Redenering:

Als ik dit dan uitwerk bekom ik een 2e graadsvergelijking omdat de z³ wegvalt.

Ik heb al 2 oplossingen, dus de 3e komt voort uit die 2e gr vgl.

Dus ik zou zeggen, ik bereken de determinant en stel die gelijk aan 0 en reken op die manier a uit?

Het is wel spijtig dat de opgave niet geheel klopt, maar als ik de juiste methode ken dan is dat ook al wat!

Klopt de redenering?

JorisL

Volgens mij zal die methode kloppen. Het is wel even geleden dat ik een vergelijking met complexe oplossingen heb opgelost maar, dit is de enige manier waarop je een numerieke waarde kan bekomen. EN je weet dat er maar 1 extra oplossing kan bestaan voor een derdegraadsvergelijking waarvan je 2 oplossingen kent.

Safe

(z-a)(z²-4z+8)=z³-9z²+20z+8

Wat kan a alleen maar zijn? Daarmee klopt de gelijkheid niet, maar dat wist je al!

doantsen

a kan enkel reëel zijn... De opgave is fout inderdaad

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Wortels zoeken; complexe getallen.

Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.

Re: Wortels zoeken; complexe getallen.