Volgens mij hebben we een spraakverwarring. Ik leg hier even uit wat ik bedoelde en dan mag jij kijken of je het er mee eens bent.
\(R[X]\)
is de verzameling van alle polynomen van ten hoogste graad 1 en met reële coëfficiënten. Deze zijn dus in het algemeen te schrijven als
\(a_1 X + a_0\)
. Wanneer we nu drie willekeurige polynomen van ten hoogste graad 1 met elkaar vermenigvuldigen, vinden we een polynoom van ten hoogste graad 3. Dit kun je nagaan door zelf de coëfficiënten te bepalen van
\((a_1 X + a_0) \cdot (b_1 X + b_0) \cdot (c_1 X + c_0) = \alpha_3 x^3 + \alpha_2 X^2 + \alpha_1 X + \alpha_0\)
. Hier zie je dus dat
\(R[X]^3\)
een deelverzameling is van
\(R[X]_{\le 3}\)
.
Het feit dat alle nulpunten reëel zijn volgt uit hoe de polynomen zijn opgebouwd. In bovenstaand voorbeeld zijn de nulpunten respectievelijk
\(\frac{a_0}{a_1}\)
,
\(\frac{b_0}{b_1}\)
en
\(\frac{c_0}{c_1}\)
, als we er even van uitgaan dat de leidende coëfficiënten ongelijk 0 zijn. Deze zijn dus per definitie reëel. Er zitten in
\(R[X]^3\)
echter elementen (polynomen) die complexe nulpunten hebben, een voorbeeld heb ik in mijn vorige post gegeven.