\(\int_{0}^\infty\frac { sin(x)}{ x }dx=\int_{-\infty}^\infty\frac { sin(x)}{2 x }dx=Im(\int_{-\infty}^\infty\frac { exp(ix)}{2 x }dx)\)
singulier punt =0\(I0=Im(\frac { 2pi. i \sum(Res)} { 2 } )=pi\)
\(I0=\lim_{R \to \infty \epsilon\to 0} (Im\frac{ 1 }{ 2 } [ \int_{-R}^{\-\epsilon} + \int_{\gamma\epsilon}^{} + \int_{-\epsilon}^{R} + \int_{\gamma R}^{} ])\)
dit wordt:\(I0=\lim_{R \to \infty \epsilon\to 0} (Im\frac{ 1 }{ 2 } [ \int_{-R}^{R} - \frac { 1}{ 2 }\oint_{\gamma\epsilon^+}^{} + \int_{\gamma R}^{}])\)
\(\oint_{\gamma\epsilon^+}^{}=2pi. i \sum(Res)=2pi.i\)
\(\int_{\gamma R}^{}\)
gaat naar 0 als R naar oneindig gaat\( pi=Im(\int_{-\infty}^\infty\frac { exp(ix)}{2 x }dx) -\frac { 1}{ 2 } pi\)
waaruit volgt \( Im(\int_{-\infty}^\infty\frac { exp(ix)}{2 x }dx) =\frac { 3}{ 2 } pi\)
Volgens maple moet het pi/2 uitkomenhet is zo verleidelijk om de - te vervangen door een plus in de onderstaande vergelijking
\(I0=\lim_{R \to \infty \epsilon\to 0} (Im\frac{ 1 }{ 2 } [ \int_{-R}^{R} - \frac { 1}{ 2 }\oint_{\gamma\epsilon^+}^{} + \int_{\gamma R}^{}])\)
Ik dacht dat het een min moet zijn om de tegengestelde richtingen aan te geven van de 2 bogen.Kan iemand mij vertellen wat ik verkeerd doe.
