Springen naar inhoud

Alternatieve manier voortbrengende verzameling vinden


  • Log in om te kunnen reageren

#1

doantsen

    doantsen


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 augustus 2011 - 12:35

Aangezien het niet echt duidelijk was voor mij om te bepalen indien een verzameling al dan niet voortbrengend was, heb ik een manier gevonden om dit te bepalen.

Dit is de vraag die ik op alternatieve wijze heb gevonden maar ik zou graag weten hoe je het 'volgens het boekje' zou moeten doen. De 'juiste' manier dus.

Aan welke voorwaarde(n) moeten a, b, c element van R voldoen opdat:
(a,b,c) element van span{(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,-4)}


Ik schrijf vervolgens (ik schrijf die vectorverzamling als B, voor het gemak)
spanB= a(2,1,0)+b(1,-1,2)+c(0,3,-4) = (2a+b,a-b+3c,2b-4c)

Ik schrijf die bekomen vector in de rijen van een matrix en bereken de rijgereduceerde.
In de onderste rij bekom ik al gauw
|0 0 0 : -2/3 4/3 1|
waaruit ik haal:
-2a+4b+3c=0
En dit is de juiste oplossing.

Het lijkt me echter niet de algemene manier om dit te bepalen! Is er een andere, betere manier?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 augustus 2011 - 16:09

Verplaatst naar Lineaire Algebra.

En wat is de definitie van een voortbrengend deel? Maw: wat wordt er, per definitie, voortgebracht door {(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,-4)} ?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

doantsen

    doantsen


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 augustus 2011 - 16:16

Een willekeurige vector van de vectorruimte moet kunnen geschreven worden als een product van de gegeven vectoren. Als dat zo is, dan zijn de gegeven vectoren voortbrengend voor de algemene vector van de vectorruimte.
(Willekeurig, ik neem hier als willekeurige reŽle getallen a,b en c.)

spanB= a(2,1,0)+b(1,-1,2)+c(0,3,-4) = (2a+b,a-b+3c,2b-4c)

Dus hier: B is voortbrengend als (2a+b,a-b+3c,2b-4c) ook een vector is van (a,b,c) van R.

Maar ik weet niet hoe ik de voorwaarde -2a+4b+3c=0 vind op een andere manier dan de det op te stellen...

Veranderd door doantsen, 01 augustus 2011 - 16:17


#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 augustus 2011 - 16:25

Het is sowieso een beetje raar geformuleerd. Bijv: 2 keer voor verschillende dingen een 'b' gebruiken is nooit een goed idee. Beter is totaal andere letters (vaak Griekse) te kiezen voor een lineaire combinatie. Dan: B is altijd voortbrengend. Alleen wat het voortbrengt is nog de vraag. En dat doe je door na te gaan welke vectoren (a,b,c) in de ruimte, voortgebracht door B, zitten... Snap je dit verschil (vooraleer door te gaan over de rest)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

doantsen

    doantsen


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 augustus 2011 - 17:43

Ja ik snap het! Ik had het trouwens opgelost voor x,y,z en dit dan vervangen door a,b,c.

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 augustus 2011 - 21:27

Okee ;). Dan ivm je echte vraag: je zegt 'oplossen via det'. Maar dat zie ik niet uit je openingspost naar voor komen. Daar los je een matrix op naar zijn inverse (?).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

doantsen

    doantsen


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2011 - 12:31

Uhm ja sorry ;)
Dat bedoel ik! Dat heb ik dus gedaan en ik vond de oplossing.
Ik weet echter niet waarom. Daarom wil ik de correcte manier dus weten ;)

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 augustus 2011 - 12:45

De inverse berekenen is ook wat ik zou doen. Of dit het best is weet ik niet. Als je de inverse berekent heb je 3 voorwaarden. Waarom zijn de 2 andere niet belangrijk? En ook: snap je wat je gedaan hebt en waarom het werkt? Wat doet je vermoeden dat er iets 'beters' is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 augustus 2011 - 12:49

Je hebt de volgende situatie. Met de basis (2,1,0), (1,-1,2), (0,3,-4) schrijven we:
p(2,1,0)+q(1,-1,2)+r(0,3,-4)=(a,b,c)
Dwz je zoekt getallen p, q en r zodanig dat je de vector (a,b,c) krijgt. Dus p, q en r worden uitgedrukt in a, b en c.
Als de basis een 3D opspant is er geen verband tussen a, b en c.
Echter als de basis een 2D (vlak) of 1D (lijn) opspant is er wel een verband tussen a, b en c.
En die heb je ook gevonden. Eigenlijk heb je laten zien dat de basis een 2D opspant.
Als je eerst hebt bepaald dat de basis een vlak opspant kan je een andere methode gebruiken.

Veranderd door Safe, 02 augustus 2011 - 12:50


#10

doantsen

    doantsen


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2011 - 20:42

Ik heb nu het volgende gedaan en dit lijkt me logischer.

|2 1 0 : a|
|1 -1 2 : b|
|0 3 -4 : c|

Zo bekom ik na reduceren ook hetzelfde verband tussen a,b en c.
Waarom vind je ditzelfde verband uit de inverse?

Mijn redenering:

Je zoekt dus voor welke waarden van a,b,c de vector(a,b,c) deel uitmaakt van span{(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,4)}
dus vector (a,b,c) ~> {(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,4)}
a ~> (2,1,0)
b ~> (1,-1,2)
c ~> (0,3,4)
Ik bedoel dus dat het eerste element van vector(a,b,c) moet voldoen aan de eerste voorwaarde van de span.
(analoog voor de tweede en derde)

Klopt dit?

#11

doantsen

    doantsen


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2011 - 21:41

Trouwens, klein vraagje maar niet de moeite om er een nieuwe topic voor te starten.

Als je bepaald hebt dat een matrix diagonaliseerbaar is.
Dan heb je dus bijvoorbeeld voor een 3x3 matrix, 3 eigenwaarden.
Die gediagonaliseerde matrix vind je met de formule D=P^-1*A*P

Je kan blijkbaar ook op de hoofddiagonaal de eigenwaarden invullen?
Hoe weet je dan de volgorde van die eigenwaarden?
Of is deze manier gewoon ter controle en moet je de formule gebruiken?

#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 augustus 2011 - 21:45

M'n vorige post:
LaTeX
met x=(p,q,r) en d=(a,b,c)
Dus ...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures