Limiet met/zonder asymptotische equivalentie

vrc

dag,

ik was nog even limieten aan het herhalen via enkele oefeningen. Ik ben echter op een probleem terechtgekomen:

lim x->+ inf (x+3-Sqrt(x^2+4x+5))

ik heb deze opgelost op 2 methoden:

1ste methode: de veelterm omvormen naar : (x+3-Sqrt(x^2(1+4/x+5/x^2))

dit wordt dan: (x+3-x*Sqrt(1+4/x+5/x^2) maar wat moet ik dan doen ?

2de methode: Sqrt(x^2+4x+5) omvormen tot Sqrt((x+2)^2+1)

hier gebruik ik de asymptotische equivalentie want ik weet dat hetvolgende geldt:

lim x-> +inf (x+2)/Sqrt((x+2)^2+1) dus in de limiet wordt Sqrt((x+2)^2+1) = (x+2)

conclusie voor de oefening is: lim x-> +inf (x+3-(x+2)) = 1 en dit is de juiste oplossing

waar ga ik dan in de fout met de eerste methode ?

mvg

Siron

Vermits je met de onbepaaldheid

\(\infty-\infty\)

en die wortelvorm zou ik de teller en noemer vermenigvuldigen met de toegevoegde wortelvorm:

\([(x+3)+\sqrt{x^2+4x+5}]\)

, daarna zou je in de teller de eigenschap

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

moeten herkennen. Als laatste kan je nog in teller en noemer een factor

\(x\)

'buiten' brengen.

Safe

vrc schreef:dag,

ik was nog even limieten aan het herhalen via enkele oefeningen. Ik ben echter op een probleem terechtgekomen:

lim x->+ inf (x+3-Sqrt(x^2+4x+5))

ik heb deze opgelost op 2 methoden:

1ste methode: de veelterm omvormen naar : (x+3-Sqrt(x^2(1+4/x+5/x^2))

dit wordt dan: (x+3-x*Sqrt(1+4/x+5/x^2) maar wat moet ik dan doen ?

2de methode: Sqrt(x^2+4x+5) omvormen tot Sqrt((x+2)^2+1)

hier gebruik ik de asymptotische equivalentie want ik weet dat hetvolgende geldt:

lim x-> +inf (x+2)/Sqrt((x+2)^2+1) dus in de limiet wordt Sqrt((x+2)^2+1) = (x+2)

conclusie voor de oefening is: lim x-> +inf (x+3-(x+2)) = 1 en dit is de juiste oplossing

waar ga ik dan in de fout met de eerste methode ?

mvg

Bij de tweede methode kom je tot een conclusie. Bij de eerste niet.

Volg de raad van Siron om tot een 'nette' conclusie te komen.

vrc

hey,

het is idd. gelukt. Was vergete dat in de opgave er een onbepaalde vorm zat (oneindig-oneidig).

uiteindelijk kwam ik dan tot hetvolgende: [x*(2+4/x)]/[x*(1+3/x+Sqrt(1+4/x+5/x^2))] en dan kan de in de teller met die van de noemer geschrapt worden. Simpel eigenlijk.

mvg

Siron

Wat ik aangaf is eigenlijk een standaard 'procedure' bij dat soort onbepaaldheden, nu zou je bijvoorbeeld na de eerste stap misschien de l'Hopital kunnen toepassen, maar meestal wordt de regel van de l'Hopital niet echt gewaardeerd, waarom weet ik ook niet, misschien omdat het een te gemakkelijke oplossing is voor die onbepaalheden

vrc

ja idd, weet op welke basis de regel van de l'hospital steunt en waneer van gebruik mag gemaakt worden, maar dacht er even niet direct aan!

mijn tweede methode heeft het zelfs een beetje moeilijker gemaakt dan het eigenlijk is.

danku

mvg

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Limiet met/zonder asymptotische equivalentie

Limiet met/zonder asymptotische equivalentie

Re: Limiet met/zonder asymptotische equivalentie

Re: Limiet met/zonder asymptotische equivalentie

Re: Limiet met/zonder asymptotische equivalentie

Re: Limiet met/zonder asymptotische equivalentie

Re: Limiet met/zonder asymptotische equivalentie