Basis voor vectorruimte

vrc

dag,

ik zit verveeld met een stelling uit mijn cursus:

"Een basis B heeft een aantal vectoren Vi , B is een basis voor vectorruimte W.

Nu is er een vector Y1 die geschreven kan worden als een lineaire combinatie van Vi = som (a(i)*Vi) met a(1) verschillend van 0. Vanzelfspreken is Y1 een elemnt van W.

Basis B ondergaat vervolgens volgende veranderingen: enkel vector V1 wordt verwisseld met vector Y1, alle andere elemnten blijven in de basis , deze nieuwe basis wordt B' genoemd."

Maar dan is die nieuwe basis B' toch niet meer lineair onafhankelijk en bijgevolg ook geen basis meer voor de ruimte W ? Dit spreekt toch de definitie van een lineair onafhankelijke vector tegen immers alle a(i) moeten dan 0 zijn zodat dan de nulvector bekomen wordt...

De conclusie die men maakt in het boek is dat men "vrijelijk vectoren in en uit een basis mag schuiven zolang de basis lineair onafhankelijk blijft. Enkel vectoren waarvoor de bijhorende a(i)- verschillen van 0 mag men vervangen."

danku

mvg

EvilBro

Maar dan is die nieuwe basis B' toch niet meer lineair onafhankelijk en bijgevolg ook geen basis meer voor de ruimte W ?

Hoe denk jij de vector Y1 te kunnen maken zonder V1?

vrc

ngo eens goed gelezen en nu heb ik het door :

de basis B bestaat uit Vi vectoren

de basis B' bestaat uit Y1+Vi+1 (zonder V1 dus) vectoren

mocht in de basis B' ook V1 zitten dan zou dit geen basis meer zijn omdat de nulvector dan het verschil is van V1-Y1 met coefficienten die verschillen van 0 namelijk: 1*v1-1*y1=0

dus inderdaad vectoren mogen verwisselt worden, infeite krijgt V1 gewoon de naam Y1 en Y1 = 1.V1+0.Vi hetgeen dus hetzelfde is

zo begrijp ik het toch goed ?

Drieske

vrc schreef:mocht in de basis B' ook V1 zitten dan zou dit geen basis meer zijn omdat de nulvector dan het verschil is van V1-Y1 met coefficienten die verschillen van 0 namelijk: 1*v1-1*y1=0

dus inderdaad vectoren mogen verwisselt worden, infeite krijgt V1 gewoon de naam Y1 en Y1 = 1.V1+0.Vi hetgeen dus hetzelfde is

zo begrijp ik het toch goed ?

Nee, dit stuk is niet juist... Er staat nergens gegeven dat Y₁=a₁V₁ + a₂V₂ + ... + a_nV_n en dat een zekerheid is dat a₁ niet 0 is. Over de andere a_i is niets gegeven. Bijgevolg mag het (en zal het vaak zo zijn) dat deze ook niet 0 zijn. Maar normaal moet je wel je argument vrij eenvoudig passend kunnen maken. Uiteraard op voorwaarde dat je snapt waar je nu in de mist gaat?

vrc

Nee, dit stuk is niet juist... Er staat nergens gegeven dat Y1=a1V1 + a2V2 + ... + anVn en dat een zekerheid is dat a1 niet 0 is. Over de andere ai is niets gegeven. Bijgevolg mag het (en zal het vaak zo zijn) dat deze ook niet 0 zijn. Maar normaal moet je wel je argument vrij eenvoudig passend kunnen maken. Uiteraard op voorwaarde dat je snapt waar je nu in de mist gaat?

Min cursus zegt over letterlijk hetvolgende:

"Gegeven een basis B={V1,V2,...,Vn} voor vectorruimte W, en gegevn een vector Y= sommatie (a(i)*V(i)). Vector Y is een element van W, waarvoor geldt dat de coefficient a1 verschillend is van 0.

Dan geldt dat de basis B'={Y,V2,...,Vn}, en dit is tevens een basis voor W. We kunnen dus vrijelijk vectoren in en uit een basis schuiven, zolang de verzameling lineair onafhankelijk blijft (alleen vectoren waarvoor de bijhorende a(i) verschillend zijn van 0 mogen vervangen worden)"

Dus als je bv. V1 wil wisselen door Y dan zal Y een combinatie zijn van een aantal elementen V(i).

-Stel dat enkel a1 verschillend is van 0, dan is de nieuwe verzameling (zonder V1, met Y) nog steeds een basis,

ommers lineaire onafhankelijkheid geldt nog steeds.

-Stel dat a1 verschillend is van 0 en dat ook andere a(i) verschillend zijn van 0, dan wil dit zeggen dat als je die Y met die V1 verwisselt dat je basis dan lneair afhankelijk is... Want er is nu een vector aanwezig die een lineaire combinatie is van die andere vectoren.

-Stel dat Y = sommatie(a(i)*(v(i)) de nulvector zou geven, met a(i) verschillend van 0 dan wilt dit zeggen dat de basis geen basis is want lineaire onahankelijkheid houdt in dat je de nulvector enkel kan vormen met alle coefficienten gelijk aan 0.

Dus mijn inzicht zegt me dan dat mijn eerste stelling dan toch correct is...

share your wisdom..

mvg

Drieske

-Stel dat a1 verschillend is van 0 en dat ook andere a(i) verschillend zijn van 0, dan wil dit zeggen dat als je die Y met die V1 verwisselt dat je basis dan lneair afhankelijk is... Want er is nu een vector aanwezig die een lineaire combinatie is van die andere vectoren.

Dit klopt niet... Het is wel degelijk lineair onafhankelijk. Hier speelt het feit dat a₁ zeker niet 0 is een heel belangrijke rol...

EvilBro

-Stel dat a1 verschillend is van 0 en dat ook andere a(i) verschillend zijn van 0, dan wil dit zeggen dat als je die Y met die V1 verwisselt dat je basis dan lneair afhankelijk is... Want er is nu een vector aanwezig die een lineaire combinatie is van die andere vectoren.

Hoe denk jij de vector Y te kunnen maken zonder V1?

Concreet voorbeeld:

basis = [(1,0),(0,1)]

Y = 3*(1,0) + 5*(0,1) = (3,5)

nieuwe basis = [(3,5),(0,1)]

Welke vector is nu lineair afhankelijk dan?

vrc

-Stel dat a1 verschillend is van 0 en dat ook andere a(i) verschillend zijn van 0, dan wil dit zeggen dat als je die Y met die V1 verwisselt dat je basis dan lneair afhankelijk is... Want er is nu een vector aanwezig die een lineaire combinatie is van die andere vectoren.

Dit klopt idd. niet. Omdat de nieuwe vector Y (die ik heb gewisseld voor V1), tesamen met die andere Vi een nieuwe basis vormt, mag Y geen combinatie van die Vi andere vectoren uit die nieuwe basis zijn. Immers we hebben V1 nodg (dus a1 is zeker verschillend van 0) om Y te kunnenmaken en juist die V1 hebben we zonet gewisseld met Y.

-Stel dat Y = sommatie(a(i)*(v(i)) de nulvector zou geven, met a(i) verschillend van 0 dan wilt dit zeggen dat de basis geen basis is want lineaire onahankelijkheid houdt in dat je de nulvector enkel kan vormen met alle coefficienten gelijk aan 0.

-Stel dat enkel a1 verschillend is van 0, dan is de nieuwe verzameling (zonder V1, met Y) nog steeds een basis,

ommers lineaire onafhankelijkheid geldt nog steeds.

deze stellingen zijn correct

Hoe denk jij de vector Y te kunnen maken zonder V1?

Concreet voorbeeld:

basis = [(1,0),(0,1)]

Y = 3*(1,0) + 5*(0,1) = (3,5)

nieuwe basis = [(3,5),(0,1)]

Welke vector is nu lineair afhankelijk dan?

In de nieuwe basis zijn alle vectoren idd lineair onafhankelijk omdat die ene vector waarmee je Y gemaakt hebt (anders kan je geen nieuwe basis vormen) gewisseld hebt voor die nieuwe vector.

begrijp ik het zo goed ?

danku

mvg

Drieske

Je schrijft het allemaal zeer verwarrend op. Het is voor mij totaal niet duidelijk of je het nu juist snapt. Ik denk eerder van wel maar ben niet zeker... Kun je het daarom op een iets wiskundigere manier benaderen? Maw: bewijs dat je nieuwe kandidaat-basis inderdaad een basis is.

vrc

oké, sorry hoor mijn kennis van al die codes is niet zo goed !

dus:

* een basis B={V1,V2,...Vn} voor de vectorruimte W

* stel we maken een vector Y = a1*V1+a2*V2+...A(n)*Vn, deze is dus een combinatie van de vectoren uit de basis B

* nu stellen we dat a1 zeker verschillend is van nul, over de rest van de coefiicienten is niets bekent

* dan mogen we de vector V1 verwisselen met Y zodat nu een niewe basis B' ontstaat: B'={Y,V2,...Vn}, deze basis is dan nog steeds lineair onafhenkelijk

* we hebben immers de vector V1 verwijderd uit de basis B' zodat we er zeker van kunnen zijn dat Y niet meer kan geschreven worden al combinatie van vectoren uit die nieuwe basis B

conlusie de basis B' is - lineair onafhankelijk + ze is nog steeds een voortbrengend deel van de vectorruimte W

hoop dat ik mij nu beter heb uitegdrukt

danku

mvg

Drieske

Dat is inderdaad beter

. Je snapt inderdaad het idee. Moet je dit idee nu ook nog hard (kunnen) maken of valt dat buiten het bereik van je cursus?

vrc

nee, ik vond het enkel voldoende om mezelf ervan te overtuigen dat ik het wel degelijk snap, heb nogal weinig in de cursus bijgeschreven...

maar als jij het idee erachter of hoe je dit hard maakt, aan mij kan laten zien is dat altijd goed meegenomen !

danku

mvg

Drieske

Hoe bewijs je in het algemeen dat iets lineair onafhankelijk is?

Hier heb je in dit concrete geval dan nog volgende 'gegevens' bij nodig:

- Y is een lineaire combinatie van de Vi's

- V1, ..., Vn zijn lineair onafhankelijk.

vrc

volgens de definitie bijt mij boek , toegepast op de basis B' en B:

V1, ..., Vn zijn lineair onafhankelijk

- basis B is lineair onafhankelijk omdat de nulvector van de vectorruimte W op één manier kan gevormd worden met de elementen uit de basis B: namalijk als alle coefficienten 0 zijn:

0 = 0*V1+0*V2+...+0*Vn

Y is een lineaire combinatie van de Vi's

- Y = a1*V1+a2*V2+...+a(n)*Vn met a1 zeker verschillend van 0

-basis B' ook lineair onafhankelijk: a1*Y+a2*V2+a3*V3+...+a(n)*Vn = 0 als alle coefficcienten 0 zijn

conclusie: de nulvecotr kan geschreven worden als:

0 = 0*V1+0*V2+...+0*Vn = 0*Y+0*V2+...+0*Vn => 0*(a1*V1+a2*V2+...+a(n)*Vn )=0*V1+0*V2+...+0*Vn

even nagedacht, maar hier loop ik ast (hoop dat ik in goede richting zit..)

mvg

Drieske

Ook hier weer doe je het een beetje vreemd... Je wilt dus bewijzen dat Y, V2, ..., Vn lineair onafhankelijk zijn. Je weet dat

- Y is een lineaire combinatie van V1, ..., Vn waarbij het zeker is dat de coëfficiënt bij V1 niet 0 is

- V1, ..., Vn vormen een basis

We moeten nu bewijzen dat als er b1, ..., bn zijn zodat b1 Y + b2 V2 + ... + bn Vn = 0, dan b1 = ... = bn = 0. We gebruiken nu ons eerste gegeven: Y is lineaire combinatie. Dit betekent dat Y = a1 V1 + ... + an Vn met a1 zeker niet 0. Dit invullen geeft ons

b1 (a1 V1 + ... + an Vn) + b2 V2 + ... + bn Vn = 0

Herschikken van de termen geeft:

b1 a1 V1 + (b1 a2 + b2) V2 + ... + (b1 an + bn) Vn = 0

We weten nu dat V1, ..., Vn een basis vormen. Dus moet (waarom?)

b1 a1 = 0

b1 a2 + b2 = 0

...

b1 an + bn = 0

Kun je nu weer verdergaan?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Basis voor vectorruimte

Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte

Re: Basis voor vectorruimte