Springen naar inhoud

Afgeleide e^x opnieuw e^x


  • Log in om te kunnen reageren

#1

vrc

    vrc


  • >25 berichten
  • 87 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 augustus 2011 - 17:31

dag,

ik ben eventjes bezig geweest met te bewijzen dat de afgeleide van e^x terug e^x is , kwam tot deze vaststelling:
f'x)=lim a->0 (e^(x+a)-e^)/a , dus gewoon de definitie van een afgeleide toepassen

dit geeft dan : f'(x)=e^x*lim a->0 ((e^a-1)/a)

heo berkenen ik het vetgedrukte dan ? het resultaat ken ik hoor maar hoe kom ik er tot dat dit 1 moet zijn
in prinipe is dit gewoon een limiet berekenen maar ik zie het niet goed in.

mvg

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 augustus 2011 - 19:24

Eigenlijk ga je uit van f(x)=a^x met a>0 en a niet 0, dan laat je zien dat er een getal moet bestaan waarvan de afgeleide weer de functie zelf oplevert. Dat getal noemen we dan e.

Veranderd door Safe, 04 augustus 2011 - 19:25


#3

vrc

    vrc


  • >25 berichten
  • 87 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 augustus 2011 - 20:55

euhm ja ,

maar het vinden van het getal e is eigenlijk ook een resultaat van dit 'bewijs' immers de eerste persoon dit deze afleiding maakt ging niet echt uit van kennis te hebben van e=2.71, maar wou gewoon weten wat de afgeleide was van een getal(ik zal dit hier b noemen) tot de macht x, en tijdens het uitwerken kan je dan (zoals ik ook deed) b^x afzonderen en kom je dan dit dit limiet..

is het dan meer de bedoeling van b een waarde te geven en via traial and error tot e te komen omdat anders die limiet niet naar 1 ging...

hoop dat je minn interpretatie een beetje kan volgen..

mvg

#4

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 augustus 2011 - 21:20

LaTeX
Het gaat om de berekening van deze limiet . Daar komt inderdaad 1 uit , maar hoe valt dit te bewijzen.

#5

Perseus

    Perseus


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 augustus 2011 - 21:30

Ik denk dat de exponentiŽle functie historisch voortkomt uit de studie van aangroei van rente bij een bepaald bedrag. Jacob Bernoulli vond als eerste het getal LaTeX , gedefinieerd als

LaTeX

Later kon Euler dit uitbreiden tot de functie

LaTeX

met de bekende eigenschappen.

#6

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2011 - 10:49

LaTeX


Het gaat om de berekening van deze limiet . Daar komt inderdaad 1 uit , maar hoe valt dit te bewijzen.


De l'Hopital zou een uitweg kunnen zijn.

#7

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2011 - 11:15

Je kunt met de inverse functiestelling bewijzen dat
LaTeX
(ik weet niet hoever je wilt gaan en wat je gehad hebt - je moet dan bewijzen dat lnx strikt stijgend continu, diffb etc)
Neem bovenstaande en vervang x door e^x
dan
LaTeX
Volgens kettingregel (of product, vergeet altijd wie wat is) geldt nu
LaTeX
maar dan
LaTeX .

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 augustus 2011 - 11:20

Eigenlijk ga je uit van f(x)=a^x met a>0 en a niet 0, dan laat je zien dat er een getal moet bestaan waarvan de afgeleide weer de functie zelf oplevert. Dat getal noemen we dan e.

Ga eens uit van de grafieken van 2^x en 3^x. Als je dit netjes doet blijkt de rc v draaklijn in (0,1) voor 2^x kleiner dan 1 en voor 3^x groter dan 1. Het ligt voor de hand om te veronderstellen dat er een getal a tussen 2 en 3 moet zijn zodat de rc v d raaklijn voor a^x precies 1 is.
Teken de lijn y=x+1 en y=a^x en neem aan dat naast het snijpunt (0,1) er een tweede snijpunt met y=a^x is. Stel dat dit snijpunt een positieve x-coord heeft. Dan moet gelden:
LaTeX
dus:
LaTeX
met 2<a<3,
Dus moet gelden, als dit getal bestaat en we noemen dat e:
LaTeX
Stellen we x>0 en x=1/n, dan krijgen we:
LaTeX
Maar ook met x<0 en x=-1/n:
LaTeX
En nu hebben we de limieten die Perseus noemt.
Bovendien geldt nu per definitie:
LaTeX
Ga dat na.
Het bewijs dat beide limieten bestaan (gelijk aan e) is in een andere topic uitvoerig behandeld.

#9

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 augustus 2011 - 11:26

De l'Hopital zou een uitweg kunnen zijn.

Let op dat je zogezegd de afgeleide van e^x nog niet kent.
Door L'Hopital toe te passen krijg je dus
f'(x)=ex f'(0)

Nu moet je nog altijd aantonen dat f'(0) gelijk is aan 1.

Wat je nog als alternatief kan doen is een van de mogelijke definities nemen:
LaTeX
Als je de afgeleide neemt van de som, krijg je weer dezelfde uitdrukking.
Alleen weet ik natuurlijk niet of je deze definitie van ex gezien hebt?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#10

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2011 - 11:40

Let op dat je zogezegd de afgeleide van e^x nog niet kent.
Door L'Hopital toe te passen krijg je dus
f'(x)=ex f'(0)

Nu moet je nog altijd aantonen dat f'(0) gelijk is aan 1.

Wat je nog als alternatief kan doen is een van de mogelijke definities nemen:
LaTeX


Als je de afgeleide neemt van de som, krijg je weer dezelfde uitdrukking.
Alleen weet ik natuurlijk niet of je deze definitie van ex gezien hebt?


Je hebt gelijk, de l'Hopital gaat hier niet, want dan ga ik er inderdaad vanuit dat ik de afgeleide van e^x al ken terwijl die nog gezocht moet worden.

Bedankt voor de verbetering! ;)

Veranderd door Siron, 05 augustus 2011 - 11:41


#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 augustus 2011 - 19:30

Welke eigenschappen van de exponentiŽle functie mag je gebruiken? Mag je bijv gebruik maken van het feit dat ln(ex) = x?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

vrc

    vrc


  • >25 berichten
  • 87 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2011 - 21:44

ik vermoed dat safe veruit het dichst bij mijn antwoord komt, kan je me nog even de link geven van het topic waar die bewijsjes uitgewerkt staan, of hoe deze topic noemen ?

danku

mvg

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 augustus 2011 - 11:26

Hier vind je meer:
http://www.wetenscha...howtopic=136487

#14

vrc

    vrc


  • >25 berichten
  • 87 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2011 - 21:23

even door dat topic gebladerd, komen veel wiskundige bewijzen met rijen en reeksen in voor, niet direct mijn sterkste vak,

anderzijds kan ik verschil tussen 2^x en 3^x op een grafiek wel duiden en intuitief zegt me dat er dan ind. een waarde moet zijn waarvoor de raaklijn van de grafiek a^x in het punt (0,1) kan geschreven worden als y= x+1

mijn vraag is bij deze beantwoord, danku

mvg

#15

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 augustus 2011 - 22:12

Alleen voor een specifieke waarde van a.

Succes verder.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures