Springen naar inhoud

Epsilon-delta definitie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

eagle987

    eagle987


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2011 - 18:59

Dag iedereen

Gewoon om het principe van de epsilon delta definitie wat beter te doorgronden heb ik geprobeerd om een tegenstrijdige bewering te bewijzen.

LaTeX

LaTeX

Uit het laatste volgt:
LaTeX

LaTeX

Stel LaTeX
Dan volgt hieruit: LaTeX

Wat dus het te bewijzen gegeven bewijst.
Deze limiet klopt uiteraard niet, ziet iemand de fout?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9899 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 augustus 2011 - 19:13

Uit het laatste volgt:
LaTeX



LaTeX

Laat dit eens zien.

#3

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2011 - 20:22

Hm ongeacht of het klopt of niet, je "bewijs" is niet echt een bewijs. Je hebt nu de definitie van de limiet opgeschreven (dan moet je ook nog even vermelden dat je punt "c", in jouw geval 1, een verdichtingspunt is). Kan je misschien in kwantoren laten zien wat je moet bewijzen om aan te tonen dat de limiet niet juist is? Jouw delta is nu niet willekeurig..

Dan ziet de structuur van je bewijs er als het goed is zo uit:
Kies een delta > 0 willekeurig. Kies epsilon = ... . Kies [zelf invullen] . Dan geldt voor alle [zelf invullen]
|f(x) - f ( c )| = | | > ... = epsilon. Dus we hebben een epsilon gevonden waarvoor de definitie niet geldt - tegenspraak - eind.

Overigens moet het ook zijn: "Voor alle x in D : 0 < |x-c| < delta" in je definitie.
Voordat je een nieuw bewijs maakt, kan je misschien het "te bewijzen" in kwantoren geven? Dan controleren we dat (mag je best even over nadenken) voordat je verder gaat..

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 augustus 2011 - 21:01

Laat dit eens zien.

Niet dat TS het niet mag laten zien. Maar die stap klopt volgens mij wel degelijk hoor...

Neemt niet weg dat het geheel niet klopt ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

eagle987

    eagle987


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2011 - 10:14

Kan je misschien in kwantoren laten zien wat je moet bewijzen om aan te tonen dat de limiet niet juist is?

Als de limiet niet correct is, dan is niet voldaan aan (bewijs door contradictie):

LaTeX

beide leden delen door 3

LaTeX

1/3 optellen bij beide leden

LaTeX


Stel daarna LaTeX :

Hierdoor geldt:
LaTeX

LaTeX

Via gelijksoortige bewerkingen bekom je:

LaTeX

LaTeX

Het een volgt uit het ander en dus zou je hierdoor (foutief) de limiet als waar kunnen beschouwen.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 augustus 2011 - 10:24

LaTeX

(*)

beide leden delen door 3

LaTeX

1/3 optellen bij beide leden

LaTeX (**)

Als je 1/3 optelt bij |x-4/3|, dan heb je |x-4/3| + 1/3...

Met e = 1 voldoet x = 1/2 bv. niet aan (*) maar wel aan (**).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 augustus 2011 - 10:52

Als je 1/3 optelt bij |x-4/3|, dan heb je |x-4/3| + 1/3...

Met e = 1 voldoet x = 1/2 bv. niet aan (*) maar wel aan (**).

Klopt, maar dit is meteen ook de (subtiele) moeilijkheid in het 'bewijs'. De ongelijkheid geldt maar in één richting: als |3x-4| < e, dan |x-1| < (e+1)/3. In omgekeerde richting geldt het niet...

Hoe je het op de juiste manier moet bekomen, is zo:
je hebt |3x - 4|<e. Uit de tweede driehoeksongelijkheid halen we dat hieruit volgt: |3(x-1)| - 1 < e. Of dus 3|x-1| < e+1. En dus |x-1| < (e+1)/3. Hier zie je meteen waarom het maar in één richting werkt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 augustus 2011 - 10:58

Klopt, maar dit is meteen ook de (subtiele) moeilijkheid in het 'bewijs'. De ongelijkheid geldt maar in één richting: als |3x-4| < e, dan |x-1| < (e+1)/3. In omgekeerde richting geldt het niet...

Hoe je het op de juiste manier moet bekomen, is zo:
je hebt |3x - 4|<e. Uit de tweede driehoeksongelijkheid halen we dat hieruit volgt: |3(x-1)| - 1 < e. Of dus 3|x-1| < e+1. En dus |x-1| < (e+1)/3. Hier zie je meteen waarom het maar in één richting werkt.

Dat is toch niet wat eagle987 doet? Daar wou ik hem op wijzen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 augustus 2011 - 11:21

Dat is toch niet wat eagle987 doet? Daar wou ik hem op wijzen...

Dat doet hij inderdaad niet. Mijn post was meer als aanvulling op jouw post bedoeld ;). Dat was misschien niet duidelijk genoeg.

Ipv 'moeilijkheid' had ik ook beter voor 'fout' gekozen in dat opzicht.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2011 - 11:29

@Eagle, dat is niet wat ik bedoel. Dat is de definitie van de limiet inderdaad. Wat je nu wilt doen is een tegenvoorbeeld geven. Daarvoor moet je een epsilon pakken (het tegenvoorbeeld, omdat epsilon willekeurig is) en aantonen dat er geen delta bestaat die voldoet. Je "te bewijzen" moet dus beginnen met
Er bestaat een epsilon > 0 : voor alle delta > 0 etc.


@anderen
Het maakt weinig uit of bovenstaande goed of fout is? De delta is niet willekeurig, dus kan er een andere delta bestaan die wel voldoet - daarmee bewijs je toch niets?

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 augustus 2011 - 12:14

@anderen
Het maakt weinig uit of bovenstaande goed of fout is? De delta is niet willekeurig, dus kan er een andere delta bestaan die wel voldoet - daarmee bewijs je toch niets?

Of ik vat de openingspost helemaal fout op, of TS probeert toch gewoon te bewijzen dat de limiet van de gegeven f gelijk is aan 4? Als dit zou lukken, zonder fout, zou dit een contradictie opleveren daar de limiet duidelijk 3 is. In mijn ogen komt het er dus op aan de fout in het bewijs te zoeken.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

eagle987

    eagle987


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2011 - 12:47

Het is uiteraard al op het eerste zicht duidelijk dat de gegeven limiet fout is.
Het is in plaats daarvan inderdaad de bedoeling om het (foute) gegeven te bewijzen en zo de contradictie te vinden, voorlopig zonder resultaat ;)

--edit--
Het zijn net dergelijke oefeningen die een contradictie opleveren die je moeilijk kan terugvinden.

Veranderd door eagle987, 07 augustus 2011 - 12:50


#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 augustus 2011 - 12:54

Het is uiteraard al op het eerste zicht duidelijk dat de gegeven limiet fout is.
Het is in plaats daarvan inderdaad de bedoeling om het (foute) gegeven te bewijzen en zo de contradictie te vinden, voorlopig zonder resultaat ;)

Hoezo zonder resultaat? Zowel TD als ik wijzen erop waar je bewijs niet klopt? Je afschatting werkt maar in 1 richting.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#14

eagle987

    eagle987


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2011 - 13:11

Ai, sorry, iets te snel naar beneden gescrollt.
De fout zit inderdaad bij die absolute waarde, hoewel ik stil gehoopt had om een contradictie terug te vinden.

Thx, ik zal alvast nog even verder oefenen.

#15

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2011 - 13:20

Kies LaTeX willekeurig. Kies LaTeX . We onderscheiden twee gevallen.
(i) Als LaTeX , kies LaTeX
(ii) Als LaTeX kies LaTeX

In geval (i) geldt
LaTeX
In geval (ii) geldt
LaTeX

-----------------------------------------
Heb de intervallen even vluchtig bepaald - kan een foutje in zitten.. Je kan ook de gevallen (0,1] en (1,\infty) nemen, dat maakt het iets eenvoudiger..
-----------------------------------------
Je kunt ook bewijzen dat L = 3 en de uniciteit van de limiet gebruiken en vermelden dat 3 != 4.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures