Epsilon-delta definitie

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Berichten: 13

Epsilon-delta definitie

Dag iedereen

Gewoon om het principe van de epsilon delta definitie wat beter te doorgronden heb ik geprobeerd om een tegenstrijdige bewering te bewijzen.
\(\lim_{x\to 1}\frac{3x(x-1)}{x-1}=4\)
\(\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \vert x-1 \vert < \delta \Rightarrow \vert 3x-4 \vert < \epsilon\)
Uit het laatste volgt:
\(\vert 3x-4 \vert < \epsilon\)
\(\vert x-1 \vert < \frac{\epsilon +1}{3}\)
Stel
\( \delta = \frac{\epsilon +1}{3}\)
Dan volgt hieruit:
\(\vert 3x-4 \vert < \epsilon\)
Wat dus het te bewijzen gegeven bewijst.

Deze limiet klopt uiteraard niet, ziet iemand de fout?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Epsilon-delta definitie

eagle987 schreef:Uit het laatste volgt:
\(\vert 3x-4 \vert < \epsilon\)

\(\vert x-1 \vert < \frac{\epsilon +1}{3}\)
Laat dit eens zien.

Berichten: 264

Re: Epsilon-delta definitie

Hm ongeacht of het klopt of niet, je "bewijs" is niet echt een bewijs. Je hebt nu de definitie van de limiet opgeschreven (dan moet je ook nog even vermelden dat je punt "c", in jouw geval 1, een verdichtingspunt is). Kan je misschien in kwantoren laten zien wat je moet bewijzen om aan te tonen dat de limiet niet juist is? Jouw delta is nu niet willekeurig..

Dan ziet de structuur van je bewijs er als het goed is zo uit:

Kies een delta > 0 willekeurig. Kies epsilon = ... . Kies [zelf invullen] . Dan geldt voor alle [zelf invullen]

|f(x) - f ( c )| = | | > ... = epsilon. Dus we hebben een epsilon gevonden waarvoor de definitie niet geldt - tegenspraak - eind.



Overigens moet het ook zijn: "Voor alle x in D : 0 < |x-c| < delta" in je definitie.

Voordat je een nieuw bewijs maakt, kan je misschien het "te bewijzen" in kwantoren geven? Dan controleren we dat (mag je best even over nadenken) voordat je verder gaat..

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Epsilon-delta definitie

Laat dit eens zien.
Niet dat TS het niet mag laten zien. Maar die stap klopt volgens mij wel degelijk hoor...

Neemt niet weg dat het geheel niet klopt ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 13

Re: Epsilon-delta definitie

Kan je misschien in kwantoren laten zien wat je moet bewijzen om aan te tonen dat de limiet niet juist is?
Als de limiet niet correct is, dan is niet voldaan aan (bewijs door contradictie):
\(\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \vert x-a \vert < \delta \Rightarrow \vert f(x)-f(a) \vert < \epsilon\)
beide leden delen door 3
\(\vert x- \frac{4}{3} \vert < \frac{\epsilon}{3} \)
1/3 optellen bij beide leden
\(\vert x- 1 \vert < \frac{\epsilon + 1}{3} \)
Stel daarna
\(\delta = \frac{\epsilon + 1}{3}\)
:

Hierdoor geldt:
\(\vert x-1 \vert < \delta\)
\(\vert x-1 \vert < \frac{\epsilon + 1}{3}\)
Via gelijksoortige bewerkingen bekom je:
\(\vert 3x-4 \vert < \epsilon \)
\(\vert f(x)-f(a) \vert < \epsilon\)
Het een volgt uit het ander en dus zou je hierdoor (foutief) de limiet als waar kunnen beschouwen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Epsilon-delta definitie

eagle987 schreef:
\(\vert 3x-4 \vert < \epsilon \)
(*)

beide leden delen door 3
\(\vert x- \frac{4}{3} \vert < \frac{\epsilon}{3} \)
1/3 optellen bij beide leden
\(\vert x- 1 \vert < \frac{\epsilon + 1}{3} \)
(**)
Als je 1/3 optelt bij |x-4/3|, dan heb je |x-4/3| + 1/3...

Met e = 1 voldoet x = 1/2 bv. niet aan (*) maar wel aan (**).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Epsilon-delta definitie

TD schreef:Als je 1/3 optelt bij |x-4/3|, dan heb je |x-4/3| + 1/3...

Met e = 1 voldoet x = 1/2 bv. niet aan (*) maar wel aan (**).
Klopt, maar dit is meteen ook de (subtiele) moeilijkheid in het 'bewijs'. De ongelijkheid geldt maar in één richting: als |3x-4| < e, dan |x-1| < (e+1)/3. In omgekeerde richting geldt het niet...

Hoe je het op de juiste manier moet bekomen, is zo:

je hebt |3x - 4|<e. Uit de tweede driehoeksongelijkheid halen we dat hieruit volgt: |3(x-1)| - 1 < e. Of dus 3|x-1| < e+1. En dus |x-1| < (e+1)/3. Hier zie je meteen waarom het maar in één richting werkt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Epsilon-delta definitie

Drieske schreef:Klopt, maar dit is meteen ook de (subtiele) moeilijkheid in het 'bewijs'. De ongelijkheid geldt maar in één richting: als |3x-4| < e, dan |x-1| < (e+1)/3. In omgekeerde richting geldt het niet...

Hoe je het op de juiste manier moet bekomen, is zo:

je hebt |3x - 4|<e. Uit de tweede driehoeksongelijkheid halen we dat hieruit volgt: |3(x-1)| - 1 < e. Of dus 3|x-1| < e+1. En dus |x-1| < (e+1)/3. Hier zie je meteen waarom het maar in één richting werkt.
Dat is toch niet wat eagle987 doet? Daar wou ik hem op wijzen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Epsilon-delta definitie

Dat is toch niet wat eagle987 doet? Daar wou ik hem op wijzen...
Dat doet hij inderdaad niet. Mijn post was meer als aanvulling op jouw post bedoeld ;) . Dat was misschien niet duidelijk genoeg.

Ipv 'moeilijkheid' had ik ook beter voor 'fout' gekozen in dat opzicht.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 264

Re: Epsilon-delta definitie

@Eagle, dat is niet wat ik bedoel. Dat is de definitie van de limiet inderdaad. Wat je nu wilt doen is een tegenvoorbeeld geven. Daarvoor moet je een epsilon pakken (het tegenvoorbeeld, omdat epsilon willekeurig is) en aantonen dat er geen delta bestaat die voldoet. Je "te bewijzen" moet dus beginnen met

Er bestaat een epsilon > 0 : voor alle delta > 0 etc.

@anderen

Het maakt weinig uit of bovenstaande goed of fout is? De delta is niet willekeurig, dus kan er een andere delta bestaan die wel voldoet - daarmee bewijs je toch niets?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Epsilon-delta definitie

Axioma91 schreef:@anderen

Het maakt weinig uit of bovenstaande goed of fout is? De delta is niet willekeurig, dus kan er een andere delta bestaan die wel voldoet - daarmee bewijs je toch niets?
Of ik vat de openingspost helemaal fout op, of TS probeert toch gewoon te bewijzen dat de limiet van de gegeven f gelijk is aan 4? Als dit zou lukken, zonder fout, zou dit een contradictie opleveren daar de limiet duidelijk 3 is. In mijn ogen komt het er dus op aan de fout in het bewijs te zoeken.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 13

Re: Epsilon-delta definitie

Het is uiteraard al op het eerste zicht duidelijk dat de gegeven limiet fout is.

Het is in plaats daarvan inderdaad de bedoeling om het (foute) gegeven te bewijzen en zo de contradictie te vinden, voorlopig zonder resultaat ;)

--edit--

Het zijn net dergelijke oefeningen die een contradictie opleveren die je moeilijk kan terugvinden.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Epsilon-delta definitie

eagle987 schreef:Het is uiteraard al op het eerste zicht duidelijk dat de gegeven limiet fout is.

Het is in plaats daarvan inderdaad de bedoeling om het (foute) gegeven te bewijzen en zo de contradictie te vinden, voorlopig zonder resultaat ;)
Hoezo zonder resultaat? Zowel TD als ik wijzen erop waar je bewijs niet klopt? Je afschatting werkt maar in 1 richting.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 13

Re: Epsilon-delta definitie

Ai, sorry, iets te snel naar beneden gescrollt.

De fout zit inderdaad bij die absolute waarde, hoewel ik stil gehoopt had om een contradictie terug te vinden.

Thx, ik zal alvast nog even verder oefenen.

Berichten: 264

Re: Epsilon-delta definitie

Kies
\(\delta > 0\)
willekeurig. Kies
\(\epsilon =1\)
. We onderscheiden twee gevallen.

(i) Als
\( \delta \in (0,1] \cup [5/3 , \infty)\)
, kies
\(x = \delta \)
(ii) Als
\(\delta \in (1,5/3)\)
kies
\(x = \frac{1}{\delta} \)


In geval (i) geldt
\(|f(x) - 4| = |3 \delta - 4 | >= 1 = \epsilon\)
In geval (ii) geldt
\(|f(x) - 4| = |3 \frac{1}{\delta} - 4 | >= 1 = \epsilon\)


-----------------------------------------

Heb de intervallen even vluchtig bepaald - kan een foutje in zitten.. Je kan ook de gevallen (0,1] en (1,\infty) nemen, dat maakt het iets eenvoudiger..

-----------------------------------------

Je kunt ook bewijzen dat L = 3 en de uniciteit van de limiet gebruiken en vermelden dat 3 != 4.

Reageer