Epsilon-delta definitie

Drieske

Graag gedaan hoor

. Je ziet goed in waarom en wat er mis ging?

Safe

eagle987 schreef:Het is uiteraard al op het eerste zicht duidelijk dat de gegeven limiet fout is.

Het is in plaats daarvan inderdaad de bedoeling om het (foute) gegeven te bewijzen en zo de contradictie te vinden, voorlopig zonder resultaat

--edit--

Het zijn net dergelijke oefeningen die een contradictie opleveren die je moeilijk kan terugvinden.

Bekijk eens hoe je bewijst dat de limiet 3 is.

Mag je nu besluiten dat de limiet nooit 4 kan zijn (of ongelijk 3)? Het antwoord hierop is niet simpelweg ja, er is nog een overweging noodzakelijk, daar is in dit vb overigens wel aan voldaan.

Hoe bewijs je dat f(x)=sin(1/x) geen limiet heeft voor x=0?

Belangrijk: je kent de epsilon-delta definitie van een limiet. Wat is de negatie (ontkenning) van deze definitie.

Axioma91

Mocht je de negatie niet kunnen vinden, dan kan je 'm bijna aflezen uit m'n vorige post.. Je moet dus kijken naar wat hier willekeurig is en wat niet. In de definitie van de limiet moet er voor alle epsilon een delta bestaan zodat voor alle x [blabla]. Je wilt nu de ontkenning vinden. Dan redeneer je als volgt; "voor alle delta kunnen we een epsilon en een x vinden zodat [blehbleh]" - blabla en blehbleh zelf invullen.

Overigens nog steeds een fout in je definitie van de limiet: 0 < |x-c| < delta. Vergeet de 0 niet! Bij jouw definitie bestaat de limiet in het punt c=1 in de volgende functie f: R --> R niet, dat is onjuist!: (ga dat zelf even na voor begrip).

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}1 & \mbox{voor}& x = 1 \\ 0 & \mbox{voor} & elders \\\end{array}\right.\)

Safe

We gaan uit van de limiet:

\(\lim_{x\to 1}\frac{3x(x-1)}{x-1}=3\)

Het 'plaatje' behorend bij deze limiet.

Teken de grafiek van de functie.

Geef een ε-omgeving van y=3 (op de y-as) aan, dus 3+ε naar boven en 3-ε naar beneden. Dan een δ-omgeving van x=1 (op de x-as), 1+δ naar rechts, 1-δ naar links zo dat de bijbehorende y-waarde van alle x in de δ-omgeving een y geven die geheel binnen de gekozen ε-omgeving valt.

Stel je nu voor dat je een 'tang' zet op de ε-omgeving en een tang op de δ-omgeving.

Omdat δ(=ε/3) van ε afhangt zal bij 'dichtknijpen' van de ε-tang ook de δ-tang zich sluiten.

Dit 'bewijst' de limiet visueel.

Probeer dit nu bij y=4 ...

In je afleiding kom je op:

\(|3(x-1)-1|<\epsilon\)

Vanaf dit punt kom je niet verder, want je moet ε koppelen aan δ met 0<|x-1|<δ, dat betekent dat δ=f(ε) waarbij f(0)=0 moet zijn, dwz ε->0 betekent δ->0 en hier hebben we ε->0 => δ>1/3

Opm: Het is beter om met de negatie van je definitie te werken.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Epsilon-delta definitie

Re: Epsilon-delta definitie

Re: Epsilon-delta definitie

Re: Epsilon-delta definitie

Re: Epsilon-delta definitie