Oppervlakte

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 39

Oppervlakte

Dag allemaal, ik heb weer een nieuwe vraag!

De vraag luidt als volgt:

Getekend is een deel van een cirkel met r = 10

Afbeelding

Bepaal de oppervlakte van het grijze deel in één decimaal nauwkeurig.

Nou doe ik het volgende:

formule van de cirkel:
\(x(t) =10 \cos{t} \Rightarrow \frac{x(t)}{10} = \cos{t}\)
\(y(t) =10 \sin{t} \Rightarrow \frac{y(t)}{10} = \sin{t}\)
en daar zou dan uit volgen dat de formule van de cirkel het volgende is:
\(\frac {y^2}{100} + \frac{x^2}{100} = 1 \Rightarrow y= \sqrt{100-x^2}\)
Daarna stel ik een integraal op in de vorm van
\(\int {(\sqrt{100-x^2} - 5)dx}\)
Maar het lukt me dus niet om deze op te lossen. Is hier wel een integraal voor nodig of kan het op een makkelijkere manier? En mocht de integraal nodig zijn, kan iemand mij dan helpen met het oplossen hiervan?

Alvast bedankt!

PS: Ik heb ook wat anders geprobeerd.

De hele cirkel heeft volgens mij een oppervlakte van 100π dus het afgebeelde stuk zou dan 25π zijn?

Maar dan weet ik alsnog niet hoe ik dat witte gedeelte zou moeten berekenen ;) .

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Oppervlakte

Je bent met oppervlakte berekeningen bezig dus heb je ook twee integratiegrenzen (a en b) nodig. (bepaalde integraal)

Schrijf eerst:
\(\int_{a}^{b}(\sqrt{100-x^2}-5)dx=\int_{a}^{b}\sqrt{100-x^2}dx-5\int_{a}^{b}dx\)
De tweede integraal kan je direct berekenen, de eerste echter niet. Hier moet je een goniometrische substitutie toepassen, ben je hier mee bekend? ...

Berichten: 39

Re: Oppervlakte

Ehh dit ken ik (nog) niet. Maar is er geen andere manier om dit te doen?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Oppervlakte

In mijn opinie kan het makkelijker:
Naamloos.jpg
Naamloos.jpg (6.1 KiB) 182 keer bekeken


Bereken de oppervlakte van het groene en blauwe deel apart.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Oppervlakte

Dit kan (gelukkig eenvoudiger) ook zonder een integraal. Bekijk daarvoor eerst de hele figuur, waar hier de y-as symmetrie-as is. Dan is de gevraagde opp het verschil van twee opp die zonder integralen te bepalen zijn.

Doe eens een poging ...

Berichten: 39

Re: Oppervlakte

Het is me gelukt (ik heb de manier van ZVdP gebruikt). Bedankt voor jullie hulp!

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Oppervlakte

Mijn methode, zie ik nu, is zelfs nog te veel rekenwerk.

Als je de blauwe cirkelsector vervangt door de cirkelsector gevormd door het groene en witte deel, dan heb je 1 term minder.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oppervlakte

ZVdP schreef:Mijn methode, zie ik nu, is zelfs nog te veel rekenwerk.

Als je de blauwe cirkelsector vervangt door de cirkelsector gevormd door het groene en witte deel, dan heb je 1 term minder.
Het is inderdaad ook zo dat je de algemene formule van een cirkelsegment kunt aantonen ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer