Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Hallo,

Een rotatie wordt gewoonlijk beschreven door een rotatiematrix, waardoor rotatieas en - amplitude terug te vinden zijn.

Als men uitgaat van de algemene vorm van zo'n rotatiematrix, dan kan men de eigenwaarden berekenen van deze matrix (dekpunten terug vinden) zodat men op deze wijze de rotatie-as terugvindt.

Schrijft men de algemene vorm op van zulke matrix, met een rotatie om een hoek
\(\phi\)
in het xy-vlak, en berekent men de eigenwaarden van deze matrix, dan vindt men terug:
\(1, e^{i \phi}, e^{-i \phi}\)
. Die reële eigenwaarde komt overeen met de rotatieas (in dit geval de z-as), maar welke betekenis kan ik hechten aan de imaginaire eigenwaarden?

Alvast bedankt,
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Die phi is net de draaihoek... Of wat voor interpretatie zoek je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Dat weet ik. Maar als je de eigenvector berekent bij de reële eigenwaarde, vind je als eigenvector de rotatieas terug: k(0,0,1).

Als ik een poging doe om de eigenvectoren te berekenen bij de imaginaire eigenwaarden, kom ik (0,0,0) uit.

En daar kan ik überhaupt geen betekenis aan koppelen.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Telkens (0,0,0) voor de eigenvectoren...? Geef je rotatiematrix eens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

\(\begin{pmatrix} cos \phi & sin \phi & 0 \\ -sin \phi & cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)


Dit stelt toch een rotatie voor om de z-as?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Ja, over een hoek phi.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Welnu, de eerste eigenwaarde levert me k(0,0,1).

Als ik nu de eigenvector wil berekenen bij
\(e^{i \phi}\)
, dan moet ik het volgende oplossen:
\(Ax= \lambda x\)
om eigenvector x te vinden. In dit geval dus:
\((A - \lambda I)x=0\)
Dus ik begin te rijreduceren en ik bekom een matrix van de vorm:
\(\begin{pmatrix} * & 0 & 0 & | 0\\ 0 & * & 0 & | 0\\ 0 & 0 & * & | 0\\ \end{pmatrix}\)
Waarbij de * niet 0 zijn. Maar wat is nu de hierbijhorende eigenvector?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Ik bekom een andere matrix na reduceren. Wat zijn de eerste 2 rijen van je matrix vóór het reduceren?

Ps: mocht je toch zoiets hebben, is enkel de nulvector een oplossing. Echter is dit (zoals ik het geleerd heb) geen eigenvector.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Stap voor stap dus.

Matrix:
\(\begin{pmatrix} cos \phi & sin \phi & 0 \\ -sin \phi & cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Eigenvector zoeken bij
\(e^{i \phi} \)
doe ik door volgende matrix te reduceren:
\(\begin{pmatrix} cos \phi-e^{i \phi} & sin \phi & 0 & |0 \\ -sin \phi & cos \phi - e^{i \phi} & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 1 - e^{i \phi} & |0 \end{pmatrix}\)
Klopt dat nog?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Ja, gebruik nu de 'goniometrische' identiteit om ei :phi: makkelijker te schrijven (vooral de eerste 2 rijen dan). Normaal zou je dan een verband moeten zien tussen rij 1 en 2 (nu is dat er ook hoor, maar moeilijker zichtbaar ;) ).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Dat geeft:
\(\begin{pmatrix} -i sin \phi & sin \phi & 0 & |0 \\ -sin \phi & -i sin \phi & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 1 - e^{i \phi} & |0 \end{pmatrix}\)
En dat kan je dan verder reduceren tot
\(\begin{pmatrix} -i &1 & 0 & |0 \\ 1 & i & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 1 - e^{i \phi} & |0 \end{pmatrix}\)
Bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Dat wegdelen mag niet zomaar. Immers deel je zo soms door 0. Wel enkel in triviale gevallen, maar die moet je even vermelden ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Dus dan vind ik een complexe eigenvector (k, ik, 0).

Dat lost mijn rekenfout al op.

Valt er verder nog een betekenis te koppelen aan die complexe eigenvector?

EDIT: je hebt gelijk wat betreft dat wegdelen, maar aangezien het hier gaat over een rotatiematrix, mag dat toch? Immers, wanneer de sinus 0 zou zijn gaat het ofwel om iets wat geen rotatie is maar een identiteit of anders om een spiegeling? Al is het zoals je zegt netter om het erbij te schrijven!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Aanvulling bij het verder lezen:

In de cursus worden deze complexe eigenvectoren "isotrope rechten" genoemd.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Betekenis eigenwaarden rotatiematrices

Valt er verder nog een betekenis te koppelen aan die complexe eigenvector?
In physics I trust schreef:Aanvulling bij het verder lezen:

In de cursus worden deze complexe eigenvectoren "isotrope rechten" genoemd.
Ben je in dat verband bekend met isotrope punten? Als je wilt, geeft dit meteen een betekenis aan die eigenvector. Maar het is wel een iets abstractere betekenis :P .

Overigens, ivm dat wegdelen: dat hangt inderdaad af van je definitie op die manier: sta je de hoek ;) toe of niet. Dat moet je dus bekijken :P .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer