Eerste orde dv - vraagstuk

doantsen

Een vat bevat 8l zuiver water op t=0. Een zoutoplossing met een concentratie van 0.2 kg/l stroomt in het vat met een debiet van 2 l/min. Terzelfdertijd stroomt de vloeistof langs onder naar buiten met een debiet van 4 l/min. Bereken de hoeveelheid zout in het vat na 2min. (Opl= 2/5)

dx/dt= instroom + uitstroom

dx/dt= 0.2*2 + x(t)/V(t)*4

dx/dt= 0.4 + 4*x/(Vo + (2-4)*t)

dx/dt= 0.4 + 4x/(8 - 2t)

Dit is de DV die ik bekom:

dx/dt= 0.4 + 2x/(4-t)

Eerst zoek ik de gereduceerde opl xg

dx/x = 2/(4-t)*dt

ln(x)=-2*ln(4-t)+ln©

ln(x)=ln(C/(4-t)²)

xg = K / (4-t)²

Vervolgens zoek ik de particuliere opl xp

xp = K(t) / (4-t)²

xp'= (K(t)'*(4-t)² + 2*K(t)*(4-t))/(4-t)^4 = K(t)'/(4-t)² + 2*K(t)/(4-t)³

Invullen in de DV levert iets verkeer want ik kan de K(t) niet wegschrappen...

Kan iemand mij zeggen hoe ik deze oefening oplos?

Ik zou aan 2/5 moeten komen!

Bedankt

TD

doantsen schreef:Een vat bevat 8l zuiver water op t=0. Een zoutoplossing met een concentratie van 0.2 kg/l stroomt in het vat met een debiet van 2 l/min. Terzelfdertijd stroomt de vloeistof langs onder naar buiten met een debiet van 4 l/min. Bereken de hoeveelheid zout in het vat na 2min. (Opl= 2/5)

dx/dt= instroom + uitstroom

dx/dt= 0.2*2 + x(t)/V(t)*4

dx/dt= 0.4 + 4*x/(Vo + (2-4)*t)

dx/dt= 0.4 + 4x/(8 - 2t)

Dit is de DV die ik bekom:

dx/dt= 0.4 + 2x/(4-t)

Hoort er voor de term van de uitstroom geen minteken...? Verder lijkt de dv me juist. Je kan dit oplossen als een standaard lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde.

doantsen

Inderdaad!

hieruit volgt

xg = C*(4-t)²

Een kijken of ik er zo kom...

doantsen

xg = C*(4-t)²

xp = -0.4*(4-t)

(Uit de beginwaarde x(0)=0 volgt C=0.1)

x = xg + xp = (4-t)²/10 - 0.4*(4-t)

Voor t=2 : x = -2/5

Dit lijkt er al beter op, maar hoe kom ik aan dat minteken?

TD

De tekens zouden net omgekeerd moeten zijn, misschien ergens een foutje gemaakt?

doantsen

Inderdaad, Maple zegt:

x = C*(-4+t)^2

Vertrekkende van ln(x) = 2*ln(4-t) + ln©

Maar als ik dit uitwerk zou ik echt niet weten hoe je daar aankomt!

TD

Heb je dat minteken van de uitstroom meegenomen?

\(x'\left( t \right) = - \frac{{2x}}{{4 - t}} = \frac{{2x}}{{t - 4}} \to \frac{{dx}}{x} = \frac{{2dt}}{{t - 4}}\)

doantsen

Ja, het probleem zit hem in het volgende denk ik...

Ik weet niet hoe ik uit

\(Ln(x) = 2 Ln(4 - t) + Ln( C)\)

\({{ x = C (-4 + t)^2}}\)

bekom.

(dit is de juist, volgens software)

TD

Eigenschap van logaritmen om de factor 2 als macht binnen te brengen.

\(\frac{{dx}}{x} = \frac{{2dt}}{{t - 4}} \to \ln x = 2\ln \left( {t - 4} \right) + c = \ln \left( {{{\left( {t - 4} \right)}^2}} \right) + c \Rightarrow x = C{\left( {t - 4} \right)^2}\)

doantsen

Heel erg bedankt! Het probleem was inderdaad die '-'.

Ik had die niet ingebracht in de noemer en probeerde dit op te lossen met die '-' in de teller.

Ik bekom 2/5 nu

TD

Oké, prima!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Eerste orde dv - vraagstuk

Eerste orde dv - vraagstuk

Re: Eerste orde dv - vraagstuk

Re: Eerste orde dv - vraagstuk

Re: Eerste orde dv - vraagstuk

Re: Eerste orde dv - vraagstuk

Re: Eerste orde dv - vraagstuk

Re: Eerste orde dv - vraagstuk

Re: Eerste orde dv - vraagstuk

Re: Eerste orde dv - vraagstuk

Re: Eerste orde dv - vraagstuk

Re: Eerste orde dv - vraagstuk