Springen naar inhoud

Dubbele ruimtelijke integraal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 augustus 2011 - 08:44

Ik zit met de volgende uitdrukking voor willekeurige LaTeX , LaTeX , LaTeX en LaTeX :
(1) LaTeX
Hierin is LaTeX het normalizatievolume, dus:
(2) LaTeX .
Volgens het boek waar deze in staat (A guide to Feynman diagrams in the Many-body problem, Richard Mattuck) is dit gelijk aan:
(3) LaTeX ,
waarbij LaTeX de hoek is tussen LaTeX en LaTeX . Dit zie ik niet in. Dit is wat ik al geprobeerd heb:

Vul de delta-functie in door te schrijven LaTeX . Eigenlijk moet je hierna altijd de delta-functie achter alle uitdrukkingen zetten, deze laat ik voor een simpelere notatie even achterwege.
(4) LaTeX
(5) LaTeX
Nu pas ik een substitutie van variabelen toe:
(6) LaTeX
Waarmee de integraal wordt:
(7) LaTeX
De integrand hangt nu niet meer van LaTeX af, dus de buitenste integraal kan met (2) opgelost worden:
(8) LaTeX
En dit is het punt waarop ik min of meer vastloop. Ik wil nu overgaan op bolcoordinaten, maar hoe ziet het inproduct van LaTeX met LaTeX er dan uit? Dit is wat ik krijg als ik LaTeX als een gewoon getal opvat:
(8) LaTeX
(9) LaTeX
(10) LaTeX
(11) LaTeX
Dit lijkt een beetje op het antwoord uit (3), wat anders opgeschreven dit is:
(12) LaTeX
Maar de noemer is niet hetzelfde. Bovendien vraag ik me af of je LaTeX wel zomaar als getal mag opvatten. Kan iemand me hierbij helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 augustus 2011 - 11:17

Is bij de substitutie van veranderlijken (6) de Jacobiaan gelijk aan 1. Ik heb het zelf niet gecheckt, maar dat is niet de feitelijke vraag.

Wat betreft je integraal over de vector u:

Het feit dat je in regel (8) een 4pi voorop zet, zou willen zeggen dat je integrand enkel functie is van de grootte van de vector u. Je hebt inderdaad de bolmetriek LaTeX en als enkel de grootte van u in het integrand staat kan de integraal over theta en phi voorop wat een 4pi oplevert.

In dit geval moet de exponent in de e-macht volgens mij voluit zijn:

LaTeX
De lengtes van de vectoren mag je nu als getallen beschouwen, een 'gewone' integraal (en bv. schrijven zonder vectorstrepen als dit duidelijker is voor je), maar er zal nog een integraal bijkomen die de hoeken tussen de vectoren beschrijft.

De lengte van de vector k-m kan uitgewerkt worden naar de uitdrukking in de noemer zoals die in het boek staat (definitie lengte van een vector) met theta nu de hoek tussen k en m.

#3

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 augustus 2011 - 12:40

Volgens mij bevat de Jacobiaan in (6) slechts een factor -1, maar die valt er dan weer uit als je over de gehele ruimte integreert.

Dus dan wordt het dit?

(8') LaTeX

Maar hoe kan ik die cos dan omzetten in bolcoordinaten?

#4

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 augustus 2011 - 14:08

Die theta gaat van 0 tot pi/2 en is in dit geval de hoek tussen k-m en u.
er staat dus eigenlijk een integraal over exp(cos(theta)) over theta en je hebt een dsin(theta).
Doe eerst integraal over theta en de rest integreer je over u.

De uiteindelijke theta is een andere theta dan de deze, niet te verwarren.

#5

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 augustus 2011 - 15:02

Wordt het hoekafhankelijke deel dan dit?

LaTeX

Die integraal gaat dan wel lukken, maar waarom loopt die hoek dan van 0 tot pi/2? Elke hoek tussen 0 en 2pi is toch mogelijk tussen LaTeX en LaTeX ? Dat deze theta anders is dan die theta uit het antwoord zie ik, maar begrijp ik het nu goed als ik zeg dat die ook anders is dan de hoek theta die ik eigenlijk al had (want deze nieuwe theta hangt van de oorspronkelijke theta en phi af)?

#6

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 augustus 2011 - 10:39

Ik heb nu als volgt geredeneerd. Ik moet het inproduct van LaTeX met LaTeX weten. Hiervoor ga ik over op Cartesische coordinaten, waarbij:
LaTeX en LaTeX
Aangezien ik over de gehele ruimte integreer, kan ik een willekeurige orientatie kiezen voor mijn x-, y- en z-as en zo dus de hoek van LaTeX zelf bepalen. Ik kies hem zo dat LaTeX , dan geldt voor het inproduct dat ik zoek:
(13) LaTeX
En de integraal wordt hiermee (klein foutje in integratiegrenzen over theta aangepast):
(14) LaTeX
(15) LaTeX
Bij de eerste integraal (die lijkt op wat M.B. voorstelde, maar dan met andere grenzen) bekom ik echter als antwoord:
(16) LaTeX
en dit komt nergens in het uiteindelijke antwoord voor. Wat gaat hier fout? Mag ik die splitsing in twee losse integralen wel maken hier?

#7

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2011 - 09:12

Ten eerste: je hebt gelijk wat betreft de nieuwe grenzen voor pi: wel degelijk van 0 tot pi!

Het splitsen van die integralen wat je op het laatste doet (zodat je e-machten bekomt) is een doodzonde tegen de rekenregels van exponentiele functies... LaTeX MAAR LaTeX

Je moet de integraal over LaTeX dus doen zonder de exponent de splitsen. Dit is redelijk eenvoudig mits een kleine substitutie (waarin nog een u zit die nadien in de integraal over u nog gebruikt moet worden).

Vergeet tenslotte niet dat wat je LaTeX noemt eigenlijk het verschil is van LaTeX .
Trouwens: die theta waarover je nu integreert heb ik in een vorig bericht genoteerd als de hoek tussen (k-m,u).

De integraal over u heeft tenslotte de vorm van een Laplacegetransformeerde en die kan je opzoeken in de boekjes.

Wanneer ik dit allemaal doe, krijg ik een andere voorfactor (imaginaire i die overblijft en een LaTeX . Voor de rest heb ik hetzelfde als het boek.

#8

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2011 - 09:28

Ik heb zelf (domme) rekenfout gemaakt.
Al het voorgaande ik zei is juist.
Indien zonder rekenfouten komt er exact het antwoord uit het boek.

Ik zou het resultaat kunnen neertypen, maar het lijkt me zinvoller om je zelf wat te laten zoeken.

#9

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 augustus 2011 - 10:26

Oeps, voor die doodzonde ga ik even in een hoekje zitten en me schamen. ;)

Ik hoop vanavond wel weer uit mijn hoekje te kruipen en dan ga ik het nogmaals proberen zelf op te lossen. Alvast bedankt voor je hulp!

#10

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 augustus 2011 - 18:27

Ik heb hem nu! :-D

(14) LaTeX
(15) LaTeX
(16) LaTeX
(17) LaTeX
(18) LaTeX
(19) LaTeX

Hierbij is LaTeX met deze LaTeX de hoek tussen LaTeX en LaTeX .

M.B., bedankt voor je blijvende interesse en je goede hints!

#11

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 augustus 2011 - 07:18

Geen dank.

Wat bereken je hier eigenlijk juist?
Een soort matrixelement of overgangswaarschijnlijkheid (bv. 2 deeltjes die inkomen met impulsen k en m en één of andere interactie ondergaan)

Verstrooingsamplitude van dit proces?

#12

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 augustus 2011 - 22:00

Dat is inderdaad wat het is: de overgangswaarschijnlijkheidsamplitude (transition probability amplitude) voor een proces waarin twee deeltjes, eentje in toestand LaTeX en de ander in toestand LaTeX 'botsen' tegen elkaar en verstrooid worden in de toestanden LaTeX en LaTeX . Deze amplitude is in het algemeen te schrijven als:
LaTeX
De toestanden zijn de oplossingen voor vrije elektronen:
LaTeX
en de interactie is gekozen als de Yukawa potentiaal:
LaTeX .
De delta-functie komt vanwege het feit dat in deze interactie het massamiddelpunt niet verandert en dus impulsmoment behouden blijft:
LaTeX
Een combinatie van deze vergelijkingen levert de oorspronkelijke vergelijking in bericht 1 op.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures