Springen naar inhoud

Stuiterende bal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

QuarkSV

    QuarkSV


  • >250 berichten
  • 723 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 augustus 2011 - 19:48

Hallo

Ik zit met het volgende: je laat een bal vallen van op 1m hoogte en telkens de bal op de grond valt, keert die terug tot op de helft van de hoogte. M.a.w. het gaat dus 1m 0.5m 0.25m 0.125m 0.0625m ... De bal zal ooit stoppen met botsen en een, volgens mij, eindige afstand afgelegd hebben...

Zou iemand de reeks kunnen in Latex plaatsen (ik kan hier niet mee werken) zodat er een sommatieteken, etc. voorstaat.

Ik zou willen weten hoeveel die eindige afstand is, hoe kan ik dit?

Help WSF eiwitten vouwen in de VRIJE TIJD van je computer...

Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 augustus 2011 - 20:09

LaTeX
(Je kan op de formule klikken om de code te lezen)

Stel dat de som convergeert, en stel de waarde gelijk aan x.
x=1+1/2+1/4+1/8+1/16...

bereken nu eens x/2. Valt je iets op?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 12 augustus 2011 - 20:20

Dit lijkt me niet goed.
De bal legt 1m af, daarna 2*1/2m ...

#4

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 augustus 2011 - 20:35

De som is niet het eindantwoord, inderdaad.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#5

QuarkSV

    QuarkSV


  • >250 berichten
  • 723 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2011 - 12:28

LaTeX


(Je kan op de formule klikken om de code te lezen)

Stel dat de som convergeert, en stel de waarde gelijk aan x.
x=1+1/2+1/4+1/8+1/16...

bereken nu eens x/2. Valt je iets op?

Het valt me op dat x naar 2 gaat, maar dit nooit bereikt.. Hoe kun je weten dat de reeks convergeert en niet divergeert?
(sorry voor de misschien 'domme' vragen, maar ik ben bezig met dit stuk aan het leren ter voorbereiding op volgend jaar en deze vraag staat in mijn boek)

Veranderd door QuarkSV, 13 augustus 2011 - 12:32

Help WSF eiwitten vouwen in de VRIJE TIJD van je computer...

Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.


#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 augustus 2011 - 23:36

Het valt me op dat x naar 2 gaat, maar dit nooit bereikt.. Hoe kun je weten dat de reeks convergeert en niet divergeert?

Nou, in dit heel specifieke geval kun je convergentie aantonen door gewoon meteen de limiet te berekenen. Hier doe je dit door te kijken naar (x - x/2). Dit blijkt 1 te zijn.

In het algemeen heb je daar testen voor...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 augustus 2011 - 00:08

Hier doe je dit door te kijken naar (x - x/2). Dit blijkt 1 te zijn.

Eigenlijk is dit niet genoeg. Je moet in principe apart nagaan dat de som convergeert voordat je dit trukje toepast (Ok, hier is het intuÔtief duidelijk dat de som convergeert naar 2, als je de partiŽle sommen bekijkt op een getallenas.).
Maar een duidelijk tegenvoorbeeld:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Verborgen inhoud
Het grappige is dat dit in een computer met two's complement wel klopt 0xF...F=-1
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 augustus 2011 - 00:18

Heb je helemaal gelijk in. Was een beetje kort uitgelegd door mij. Nu vormt dit hier inderdaad wel niet meteen een groot obstakel. Is het niet duidelijk dat de limiet 2 is, is het wel nog (vrij) goed te doen om te beargumenteren dat je som niet oneindig groot wordt. En dan kan je dat trucje wel doen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

QuarkSV

    QuarkSV


  • >250 berichten
  • 723 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2011 - 11:30

Okť, dat begrijp ik.

Maar de afgelegde afstand is toch geen 2m? Ik zie niet in hoe ik eraan moet komen..

Help WSF eiwitten vouwen in de VRIJE TIJD van je computer...

Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.


#10

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 augustus 2011 - 11:37

Kijk eens naar Safe zijn bericht:
De bal legt eerst 1m af, dan 2 keer 0.5m, daarna 2 keer 0.25m, 2 keer 0.125m,...
Herken je hier nu de som in?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#11

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2011 - 13:23

Okť, dat begrijp ik.

Maar de afgelegde afstand is toch geen 2m? Ik zie niet in hoe ik eraan moet komen..

Je kunt bewijzen dat
LaTeX
waar moet gelden dat a < 1.
Nemen we dit voorbeeld, waar a = 1/2 (want 1/{2^n} = (1/2)^n), dan volgt inderdaad dat de som 2 is.
Dit is een handig "trucje" voor een oneindige meetkundige reeks. Je kunt dit met inductie bewijzen, maar ik ga er niet vanuit dat je daar goed mee bekend bent. Je kunt voor nu intuitief bepalen waar een reeks naartoe convergeert, zoals hierboven dus gedaan...

Als je volgend jaar gaat studeren (?) dan kom je vrij snel in aanraking met convergentietesten en oplossingen van reeksen.

#12

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 14 augustus 2011 - 13:46

Zonder berekeningen:

http://upload.wikime...diagram.svg.png

#13

QuarkSV

    QuarkSV


  • >250 berichten
  • 723 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2011 - 22:08

Ik denk dat ik het snap. Als ik me baseer op deze eigenschap: "een meetkundige reeks is convergent als en slechts als |reden|<1 en de reekssom is dan gelijk aan a/(1-r)". Dan kom ik uit dat de reeks convergeert en dat de reekssom gelijk is aan 2.

Maar op de vraag 'hoeveel m legt de bal af?' kan ik toch niet 2 antwoorden... Want als je hem laat vallen, legt hij 1m af en komt 0.5m terug omhoog, gaat terug omlaag 0.5m (dan zit je al aan 2m in totaal), gaat terug 0.25m omhoog en omlaag (dan zit je al aan 2.5m) enzovoort...

Help WSF eiwitten vouwen in de VRIJE TIJD van je computer...

Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.


#14

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 augustus 2011 - 22:17

Het antwoord is inderdaad niet gelijk aan 2. Je moet de afgelegde weg zo schrijven dat de som erin voorkomt.
Schrijf de afgelegde weg nu eens zo:
1+(0.5+0.5)+(0.25+0.25)+(0.125+0.125)+...=1+2*(0.5+0.25+0.125+...)
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#15

QuarkSV

    QuarkSV


  • >250 berichten
  • 723 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2011 - 22:23

Het antwoord is inderdaad niet gelijk aan 2. Je moet de afgelegde weg zo schrijven dat de som erin voorkomt.
Schrijf de afgelegde weg nu eens zo:
1+(0.5+0.5)+(0.25+0.25)+(0.125+0.125)+...=1+2*(0.5+0.25+0.125+...)

Moet ik dit gewoon uitrekenen?

Help WSF eiwitten vouwen in de VRIJE TIJD van je computer...

Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures