Stuiterende bal
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
- Berichten: 721
Stuiterende bal
Hallo
Ik zit met het volgende: je laat een bal vallen van op 1m hoogte en telkens de bal op de grond valt, keert die terug tot op de helft van de hoogte. M.a.w. het gaat dus 1m 0.5m 0.25m 0.125m 0.0625m ... De bal zal ooit stoppen met botsen en een, volgens mij, eindige afstand afgelegd hebben...
Zou iemand de reeks kunnen in Latex plaatsen (ik kan hier niet mee werken) zodat er een sommatieteken, etc. voorstaat.
Ik zou willen weten hoeveel die eindige afstand is, hoe kan ik dit?
Ik zit met het volgende: je laat een bal vallen van op 1m hoogte en telkens de bal op de grond valt, keert die terug tot op de helft van de hoogte. M.a.w. het gaat dus 1m 0.5m 0.25m 0.125m 0.0625m ... De bal zal ooit stoppen met botsen en een, volgens mij, eindige afstand afgelegd hebben...
Zou iemand de reeks kunnen in Latex plaatsen (ik kan hier niet mee werken) zodat er een sommatieteken, etc. voorstaat.
Ik zou willen weten hoeveel die eindige afstand is, hoe kan ik dit?
Help WSF eiwitten vouwen in de VRIJE TIJD van je computer...
Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.
Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.
- Berichten: 2.097
Re: Stuiterende bal
\(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}\)
(Je kan op de formule klikken om de code te lezen)Stel dat de som convergeert, en stel de waarde gelijk aan x.
x=1+1/2+1/4+1/8+1/16...
bereken nu eens x/2. Valt je iets op?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Stuiterende bal
Dit lijkt me niet goed.
De bal legt 1m af, daarna 2*1/2m ...
De bal legt 1m af, daarna 2*1/2m ...
- Berichten: 2.097
Re: Stuiterende bal
De som is niet het eindantwoord, inderdaad.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
- Berichten: 721
Re: Stuiterende bal
Het valt me op dat x naar 2 gaat, maar dit nooit bereikt.. Hoe kun je weten dat de reeks convergeert en niet divergeert?ZVdP schreef:\(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}\)(Je kan op de formule klikken om de code te lezen)
Stel dat de som convergeert, en stel de waarde gelijk aan x.
x=1+1/2+1/4+1/8+1/16...
bereken nu eens x/2. Valt je iets op?
(sorry voor de misschien 'domme' vragen, maar ik ben bezig met dit stuk aan het leren ter voorbereiding op volgend jaar en deze vraag staat in mijn boek)
Help WSF eiwitten vouwen in de VRIJE TIJD van je computer...
Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.
Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.
- Berichten: 10.179
Re: Stuiterende bal
Nou, in dit heel specifieke geval kun je convergentie aantonen door gewoon meteen de limiet te berekenen. Hier doe je dit door te kijken naar (x - x/2). Dit blijkt 1 te zijn.Het valt me op dat x naar 2 gaat, maar dit nooit bereikt.. Hoe kun je weten dat de reeks convergeert en niet divergeert?
In het algemeen heb je daar testen voor...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 2.097
Re: Stuiterende bal
Eigenlijk is dit niet genoeg. Je moet in principe apart nagaan dat de som convergeert voordat je dit trukje toepast (Ok, hier is het intuïtief duidelijk dat de som convergeert naar 2, als je de partiële sommen bekijkt op een getallenas.).Hier doe je dit door te kijken naar (x - x/2). Dit blijkt 1 te zijn.
Maar een duidelijk tegenvoorbeeld:
\(\sum_{n=0}^\infty 2^n\)
\(x=1+2+4+8+16+32+...\)
\(2x=2+4+8+16+32+...\)
\(x-2x=1\)
\(x=-1\)
Verborgen inhoud
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
- Berichten: 10.179
Re: Stuiterende bal
Heb je helemaal gelijk in. Was een beetje kort uitgelegd door mij. Nu vormt dit hier inderdaad wel niet meteen een groot obstakel. Is het niet duidelijk dat de limiet 2 is, is het wel nog (vrij) goed te doen om te beargumenteren dat je som niet oneindig groot wordt. En dan kan je dat trucje wel doen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 721
Re: Stuiterende bal
Oké, dat begrijp ik.
Maar de afgelegde afstand is toch geen 2m? Ik zie niet in hoe ik eraan moet komen..
Maar de afgelegde afstand is toch geen 2m? Ik zie niet in hoe ik eraan moet komen..
Help WSF eiwitten vouwen in de VRIJE TIJD van je computer...
Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.
Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.
- Berichten: 2.097
Re: Stuiterende bal
Kijk eens naar Safe zijn bericht:
De bal legt eerst 1m af, dan 2 keer 0.5m, daarna 2 keer 0.25m, 2 keer 0.125m,...
Herken je hier nu de som in?
De bal legt eerst 1m af, dan 2 keer 0.5m, daarna 2 keer 0.25m, 2 keer 0.125m,...
Herken je hier nu de som in?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
-
- Berichten: 264
Re: Stuiterende bal
Je kunt bewijzen datQuarkSV schreef:Oké, dat begrijp ik.
Maar de afgelegde afstand is toch geen 2m? Ik zie niet in hoe ik eraan moet komen..
\(\sum_{n=0}^\infty a^n = \frac{1}{1-a}\)
waar moet gelden dat a < 1.Nemen we dit voorbeeld, waar a = 1/2 (want 1/{2^n} = (1/2)^n), dan volgt inderdaad dat de som 2 is.
Dit is een handig "trucje" voor een oneindige meetkundige reeks. Je kunt dit met inductie bewijzen, maar ik ga er niet vanuit dat je daar goed mee bekend bent. Je kunt voor nu intuitief bepalen waar een reeks naartoe convergeert, zoals hierboven dus gedaan...
Als je volgend jaar gaat studeren (?) dan kom je vrij snel in aanraking met convergentietesten en oplossingen van reeksen.
- Berichten: 721
Re: Stuiterende bal
Ik denk dat ik het snap. Als ik me baseer op deze eigenschap: "een meetkundige reeks is convergent als en slechts als |reden|<1 en de reekssom is dan gelijk aan a/(1-r)". Dan kom ik uit dat de reeks convergeert en dat de reekssom gelijk is aan 2.
Maar op de vraag 'hoeveel m legt de bal af?' kan ik toch niet 2 antwoorden... Want als je hem laat vallen, legt hij 1m af en komt 0.5m terug omhoog, gaat terug omlaag 0.5m (dan zit je al aan 2m in totaal), gaat terug 0.25m omhoog en omlaag (dan zit je al aan 2.5m) enzovoort...
Maar op de vraag 'hoeveel m legt de bal af?' kan ik toch niet 2 antwoorden... Want als je hem laat vallen, legt hij 1m af en komt 0.5m terug omhoog, gaat terug omlaag 0.5m (dan zit je al aan 2m in totaal), gaat terug 0.25m omhoog en omlaag (dan zit je al aan 2.5m) enzovoort...
Help WSF eiwitten vouwen in de VRIJE TIJD van je computer...
Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.
Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.
- Berichten: 2.097
Re: Stuiterende bal
Het antwoord is inderdaad niet gelijk aan 2. Je moet de afgelegde weg zo schrijven dat de som erin voorkomt.
Schrijf de afgelegde weg nu eens zo:
1+(0.5+0.5)+(0.25+0.25)+(0.125+0.125)+...=1+2*(0.5+0.25+0.125+...)
Schrijf de afgelegde weg nu eens zo:
1+(0.5+0.5)+(0.25+0.25)+(0.125+0.125)+...=1+2*(0.5+0.25+0.125+...)
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
- Berichten: 721
Re: Stuiterende bal
Moet ik dit gewoon uitrekenen?ZVdP schreef:Het antwoord is inderdaad niet gelijk aan 2. Je moet de afgelegde weg zo schrijven dat de som erin voorkomt.
Schrijf de afgelegde weg nu eens zo:
1+(0.5+0.5)+(0.25+0.25)+(0.125+0.125)+...=1+2*(0.5+0.25+0.125+...)
Help WSF eiwitten vouwen in de VRIJE TIJD van je computer...
Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.
Surf & download: folding.stanford.edu. Team nummer: 48658.