Reekssom berekenen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 66

Reekssom berekenen

Goedemiddag!

Ik weet niet goed hoe ik volgende oefening moet afwerken:

De opgave

Toon aan dat:
\(\sum \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3}\)
Oplossing:

Ik heb eerst breuk gesplitst:
\(\frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}\)
met A(3n+1) + B(3n-2) = (3A + 3B)n + (A-2B)

dus

1. 3A + 3B = 0 <=> A = -B

2. A - 2B = 1 <=> A = 1

De reeks wordt dus gevormd door
\(\sum \frac{1}{3n-2} + \frac{-1}{3n+1}\)
Maar hoe moet ik nu aan die 1/3 komen? Ik weet dat je bij rijen alles voluit moet schrijven en dan moet schrappen, maar hoe doe je dat bij reeksen?
He who asks, is a fool for five minutes, but he who does not ask remains a fool forever.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Reekssom berekenen

Dit is prima, bepaal de eerste termen ...

Wat is de beginwaarde van n?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Reekssom berekenen

Je hebt een foutje gemaakt in de laatste vergelijking bij het bepalen van A en B.

A is niet 1, maar 1/3.

Je kan de termen uitschrijven zoals Safe voorstelt.

Je kan ook de eerste som proberern te herschrijven in de vorm van de tweede. Dus een substitutie zodat
\(\frac{1}{3}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3n-2}\)
omgevormd wordt naar
\(\frac{1}{3}\sum_{k=?}^?\frac{1}{3k+1}\)
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Gebruikersavatar
Berichten: 66

Re: Reekssom berekenen

Safe schreef:Dit is prima, bepaal de eerste termen ...

Wat is de beginwaarde van n?
n gaat van 1 tot +
\(\infty\)
Eerste termen zijn dan: (1 - 1/4) + (1/4 - 1/7) + ... + -1/(3n + 2)

Er valt mij op dat ik alle termen tussen de eerste en de laatste kan schrappen. Ik vul +
\(\infty\)
in de laatste dus die komt nul dus eindig ik op 1. Maar ik zou 1/3 moeten uitkomen.
He who asks, is a fool for five minutes, but he who does not ask remains a fool forever.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Reekssom berekenen

Dat komt omdat je bij de berekening van A en B een foutje gemaakt hebt, zoals ik al gezegd heb.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Gebruikersavatar
Berichten: 66

Re: Reekssom berekenen

ZVdP schreef:Je hebt een foutje gemaakt in de laatste vergelijking bij het bepalen van A en B.

A is niet 1, maar 1/3.

Je kan de termen uitschrijven zoals Safe voorstelt.

Je kan ook de eerste som proberern te herschrijven in de vorm van de tweede. Dus een substitutie zodat
\(\frac{1}{3}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3n-2}\)
omgevormd wordt naar
\(\frac{1}{3}\sum_{k=?}^?\frac{1}{3k+1}\)
Oei, had ik niet opgemerkt.
  • 1e oplossingswijze

    Reekssom is dus
    \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1/3}{3n-2}+ \frac{-1}{3n+1}\)
    dan zijn de eerste termen:

    (1/3 - 1/4) + (1/12 - 1/7) + (1/21 - 1/10) + ...

    <=> 1/3 - 1/6 - 2/21 + ...

    <=> 1/3 (1 - 1/2 - 2/7 + ...)

    Ik denk dat ik het nog niet zie.
  • 2e oplossingswijze

    Hoe bepaal je de grenzen bij substitutie? Mag je die gewoon overnemen?
He who asks, is a fool for five minutes, but he who does not ask remains a fool forever.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Reekssom berekenen

Zowel bij A als bij B ontbrak er een factor 1/3.

Dus je eerdere uitkomst van 1 moet je simpelweg nog een keertje delen door 3.

De grenzen moet je opnieuw bepalen, zoals je ook bij een integraal zou doen.

Stel k=n-1. Als n van 1 tot oneindig loopt, dan moet k van 0 tot oneindig lopen.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Gebruikersavatar
Berichten: 66

Re: Reekssom berekenen

ZVdP schreef:Zowel bij A als bij B ontbrak er een factor 1/3.

Dus je eerdere uitkomst van 1 moet je simpelweg nog een keertje delen door 3.

De grenzen moet je opnieuw bepalen, zoals je ook bij een integraal zou doen.

Stel k=n+1. Als n van 1 tot oneindig loopt, dan moet k van 0 tot oneindig lopen.
Ok, ik denk dat ik het begrijp: dus om dat gelijkvormig te maken moet 3k+1 = 3n-2 <=> k = n-1 dus krijg je als reekssom
\(\frac{1}{3}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{3k+1} - \frac{1}{3}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{3n+1}\)
alles wordt geschrapt behalve de eerste term van de eerste reekssom wat 1/3 geeft.

Bedankt voor de tip!
He who asks, is a fool for five minutes, but he who does not ask remains a fool forever.

Reageer