Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 36
Klintersaas schreef:5) Bepaal de waarde van de volgende onbepaalde integraal:
\(\int_0^1\frac{e^{2x}-2e^x}{e^x+1}\mbox{d}x\)
\(0\)
\(e+2+3\ln{2}\)
\(3\ln{2} - 3\ln(e+1)\)
\(e-1+3\ln\left(\frac{2}{e+1}\right)\)
[/b][/i]
Verborgen inhoud
Antwoord D. Ik vermoed dat er een fout in de opgave staat, aangezien het hier uiteraard om een bepaalde integraal staat.
Stel een vraag over deze oefening.
(Herkomst: simulatie-examen EMSA 2009)
Ik vroeg me af of ik de primitieve op de juiste manier bereken. Als je de functie splitst in twee functies, moet je dan ook de primitieve A * Functie B + Functie A * Primitieve B doen?
Ik wilde de integraal zo splitsen:
e^2X - 2e^X * 1/(e^X +1)
En dan primitiveren zoals ik daarboven vertelde, dan krijg ik voor primitieve A: 1/2 e^2X - 2e^X .
Voor primitieve B krijg ik: Ln(e^X +1). Is deze werkwijze goed?
"Happiness is like peeing in your pants, everyone can see it, but only you can feel its warmth."
-
- Berichten: 2.097
De integraal is lineair:
\(\int_a^b (f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx\)
Maar wat jij doet mag niet hé:
\(\int_a^bf(x)g(x)dx\neq\int_a^bf(x)\cdot\int_a^bg(x)dx\)
Merk op dat
\(e^{2x}=(e^x)^2\)
. Je kan in de teller nu e
x buitenbrengen. Je hebt nu alle ingrediënten om een substitutie uit te voeren.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
-
- Berichten: 36
Als ik e^X buitenbreng. Krijg ik: (e^X (e^X - 2) ) / e^X +1 .
Ik zie niet meteen wat ik moet substitueren om verder te komen. Ik wil dan namelijk de twee aparte integralen gaan optellen, maar ik ben nog aan het zoeken hoe ik die 2 aparte integralen dan krijg in combinatie met de substitutie.
"Happiness is like peeing in your pants, everyone can see it, but only you can feel its warmth."
-
- Berichten: 2.097
Probeer eens u=ex, want je hebt net daarvan de afgeleide, namelijk ex zelf, buitengebracht in de teller.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
-
- Berichten: 36
Oké, dan heb ik nu: u(u-2)/(u+1). Ik zie het nog steeds niet. Je kan toch niks delen?
"Happiness is like peeing in your pants, everyone can see it, but only you can feel its warmth."
-
- Berichten: 2.097
Dat is niet goed gesubstitueerd. Je hebt ex gewoon vervangen door u. Maar je moet dx correct vervangen natuurlijk. Waaraan is du gelijk?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
-
- Berichten: 10.179
Effe een 'zijsprong': Mocht je niet goed vertrouwd zijn met integratie door substitutie, vind je
hier wat meer info...
-
- Berichten: 36
Als ik het goed begrijp wil je met behulp van de kettingregel de teller gaan primitiveren?
Als ik het zelf probeer kom ik hierop uit:
u = e^X
y = u (e^X - 1)
De primitieve van Y is dan volgens mij:
Y = 1/2 u^2 (e^X - 1) + u (e^X - X)
Is dit goed? Moet je nadat je de primitieve Y hebt gevonden deze vermenigvuldigen met: Ln ( e^X + 1), want dat is de primitieve van de noemer toch?
"Happiness is like peeing in your pants, everyone can see it, but only you can feel its warmth."
-
- Berichten: 10.179
Heb je 'mijn' link doorgenomen?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Stel
\(u=e^x\)
\(\frac{du}{dx}=\frac{de^x}{dx}=e^x\)
\(de^x=e^x \cdot dx \)
-
- Berichten: 36
Heb je 'mijn' link doorgenomen?
Ja, maar het is erg in forumuletaal geschreven, ik denk dat ik er nog meer uitleg bij nodig heb. Klopt het dat je daar moet differentiëren volgens die methode? Zo ja, dan heb ik die methode helemaal niet op de middelbare school gehad.
"Happiness is like peeing in your pants, everyone can see it, but only you can feel its warmth."
-
- Berichten: 10.179
Begrijp je die voorbeelden (of wat Aadkr hierboven doet) ook niet?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Kon je mijn bericht volgen. Daarin werd afgeleid dat
\(de^x=du=e^x \cdot dx\)
\(\int_{0}^{1} e^x \cdot \frac{(u-2)}{(u+1)} \cdot dx \)
Nu mag je
\(e^x \cdot dx \)
vervangen door du
-
- Berichten: 36
Begrijp je die voorbeelden (of wat Aadkr hierboven doet) ook niet?
Nee, we hebben wel eens van du/dx op de middelbare school gezien, maar we hebben een andere methode geleerd, waarmee je de kettingregel toepast. Dit was overigens alleen bij differentiëren en niet primitiveren.
"Happiness is like peeing in your pants, everyone can see it, but only you can feel its warmth."
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Wat is de eerste afgeleide van de funktie
\(y=e^x \)
?
Anders gezegd. Wat is
\(\frac{dy}{dx}=\frac{de^x}{dx}\)
