Harmonische trilling

vrc

dag,

ik kom niet tot inzicht hoe ik volgende zaken worden afgeleid:

y(t)=(v0/omega)*sin(omega*t)+y0*cos(omega*t)

y(t)=a*cos(omega*t+phi)

a = amplitude = SQRT(y0^2+(v0/omega)^2)

phi = -Bgtan(v0/(omega*y0))

graag wat hulp

mvg

mathfreak

Werk acos(ωt+φ) eens uit door de formule voor cos(α+β) toe te passen. Stel vervolgens

\(a\cos(\omega t+\phi)=\frac{v_0}{\omega}\sin \omega t+y_0\cos \omega t\)

. Wat volgt hieruit voor a en φ?

EvilBro

Zo zou ik dit doen:

\(y(t)=\frac{v_0}{\omega} \cdot \sin(\omega \cdot t)+y0 \cdot \cos(\omega \cdot t)\)

\(=\frac{v_0}{\omega} \cdot \cos(\omega \cdot t - \frac{\pi}{2})+y0 \cdot \cos(\omega \cdot t)\)

\(= \Re \left( \frac{v_0}{\omega} \cdot \cos(\omega \cdot t - \frac{\pi}{2})+y0 \cdot \cos(\omega \cdot t) \right)\)

\(= \Re \left( \frac{v_0}{\omega} \cdot e^{i \cdot (\omega \cdot t - \frac{\pi}{2})}+y0 \cdot e^{i \cdot \omega \cdot t} \right)\)

\(= \Re \left( (\frac{v_0}{\omega} \cdot e^{-i \cdot \frac{\pi}{2}}+y0 ) \cdot e^{i \cdot \omega \cdot t} \right)\)

\(= \Re \left( (y_0 - i \cdot \frac{v_0}{\omega} ) \cdot e^{i \cdot \omega \cdot t} \right)\)

\(= \Re \left( (\sqrt{y_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} \cdot e^{-i \cdot \arctan(\frac{\frac{v_0}{\omega}}{y_0})} ) \cdot e^{i \cdot \omega \cdot t} \right)\)

\(= \Re \left( \sqrt{y_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} \cdot e^{i \cdot (\omega \cdot t - \arctan(\frac{v_0}{y_0 \cdot \omega}))} \right)\)

\(= \sqrt{y_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} \cdot \cos(\omega \cdot t - \arctan(\frac{v_0}{y_0 \cdot \omega}))\)

vrc

hey,

bedankt voor de tips, het zal het weldra bekijken !

mvg

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Harmonische trilling

Harmonische trilling

Re: Harmonische trilling

Re: Harmonische trilling

Re: Harmonische trilling