Springen naar inhoud

Gezocht: methode om voor commutatieve ringo´de een verzameling van equivalentieklasse-representanten te vinden


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 08 september 2011 - 12:19

Voor een ander topic (zie hier) zoek ik een methode om voor wat vermoedelijk een commutatieve ringo´de zal worden een 'verzameling van equivalentieklasse-representanten' te vinden. Dit om er voor te zorgen dat met dit systeem van equivalentieklassen op een elegante, handige en overzichtelijke manier gerekend kan worden.

Voor zulk soort problemen zal vast een standaard aanpak bestaan, maar als relatieve leek kan ik die niet vinden. Wie helpt me op weg?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 september 2011 - 14:45

Je voert dus equivalentieklassen in volgens de nu beschreven relatie, zonder extra regels, en voert de bewerkingen daarop door, om 'metaformele getallen' te krijgen?

Er zijn voor bekende systemen soms verschillende interessante mogelijkheden. Voor de p-adische getallen zijn er twee interessante mogelijkheden waarbij afhankelijk van wat je wil doen de ene de voorkeur geniet boven de andere (google anders misschien eens 'teichmuller representatives', wat als het 'alternatieve' systeem beschouwd kan worden als je daar meer over wil weten; ik moet zelf zeggen dat ik alleen maar weet dat het alternatieve systeem er is).

Een 'standaardaanpak' die altijd werkt is er mijns inziens niet, en er gaan dus eventueel ook meerdere mogelijkheden zijn waarbij afhankelijk van wat je wil doen de ene de voorkeur geniet boven de andere.

Hier lijkt het me niet duidelijk wat een 'standaard goede manier' is. Ik heb wel iets in mijn hoofd dat als 'vrij standaard' beschouwd kan worden, maar dat is nogal ingewikkeld en leidt niet tot wat je een 'elegant rekenen' kan noemen. Aan de andere kant is het ook goed mogelijk dat er met de metaformele getallen op deze manier geen elegant en bruikbaar systeem is.

Veranderd door kee, 08 september 2011 - 14:51


#3

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 08 september 2011 - 15:36

Je voert dus equivalentieklassen in volgens de nu beschreven relatie, zonder extra regels, en voert de bewerkingen daarop door, om 'metaformele getallen' te krijgen?


Juist.

Er zijn voor bekende systemen soms verschillende interessante mogelijkheden. Voor de p-adische getallen zijn er twee interessante mogelijkheden waarbij afhankelijk van wat je wil doen de ene de voorkeur geniet boven de andere (google anders misschien eens 'teichmuller representatives', wat als het 'alternatieve' systeem beschouwd kan worden als je daar meer over wil weten; ik moet zelf zeggen dat ik alleen maar weet dat het alternatieve systeem er is).


Dat ziet er niet eenvoudig uit.

Een 'standaardaanpak' die altijd werkt is er mijns inziens niet, en er gaan dus eventueel ook meerdere mogelijkheden zijn waarbij afhankelijk van wat je wil doen de ene de voorkeur geniet boven de andere.


Probleem is ook dat het hier geen ring betreft: zo geldt de associatieve eigenschap niet.

Hier lijkt het me niet duidelijk wat een 'standaard goede manier' is. Ik heb wel iets in mijn hoofd dat als 'vrij standaard' beschouwd kan worden, maar dat is nogal ingewikkeld en leidt niet tot wat je een 'elegant rekenen' kan noemen. Aan de andere kant is het ook goed mogelijk dat er met de metaformele getallen op deze manier geen elegant en bruikbaar systeem is.


De mogelijkheid dat het uiteindelijk op niets uitdraait is nog steeds aanwezig. Dat het wiskundig klopt, daar heb ik wel vertrouwen in. Maar het zou nog best op iets triviaals of juist zeer omslachtigs kunnen uitlopen. Daarom ben ik alvast wat vooruit aan het denken hoe met de metaformele getallen gerekend zou moeten/kunnen worden.

Alle hulp vanuit bestaande theorieŰn is daarbij welkom.

#4

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 september 2011 - 17:33

De 'ingewikkelde manier' die ik in mijn hoofd heb is een stappenplan. Dan komt er volgens mij niet iets triviaals uit, maar wel iets dat nog te omslachtig is. Ik heb het zelf wel nog niet uitgewerkt wat het wordt, en weet dus ook niet of het klopt of als het aanpassing nodig heeft. Misschien kan je het zelf eens proberen.

Begin met de distributiviteit om vermenigvuldigingen zo ver mogelijk binnen de haakjes te brengen. Gebruik wel onmiddellijk al linkse en rechtse distributiviteit.

Voer op deze 'uitdrukkingen' de inwisselbaarheid in. Vervang door reŰle getallen waar mogelijk. De voorwaarden op de uitdrukkingen worden strenger, maar deze worden niet fundamenteel eenvoudiger denk ik.

Het invoeren van de commutativiteit daarna houdt een notatieafspraak in voor de volgorde. Er moet dus een orde gedefinieerd worden.

Uiteindelijk krijg je volgens mij dan wel een systeem van representanten als formele getallen waarvoor specifieke voorwaarden gelden. Een soort formele uitdrukkingen met voorwaarden dus waaronder elk metaformeel getal met precies ÚÚn zo'n uitdrukking overeenkomt. Maar wel een complex omslachtig systeem.

Veranderd door kee, 08 september 2011 - 17:43


#5

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 08 september 2011 - 18:56

In elk geval is het al zo dat alle formele getallen met een zelfde reŰle waarde ongelijk nul gelijkaardig zijn. Die reŰle waarde kan dan als natuurlijke keuze voor de representant dienen.

Formele getallen met reŰle waarde nul zitten - mag ik hopen - in tal van verschillende equivalentieklassen.

Je kan formele getallen d.m.v. boomschema's voorstellen.

De uitdrukking:

((0 . 9) . 16) + (3 + 1)

geeft dan:

0   9  
					  \./
					   0  16   3   1
						\./	 \+/
						 0	   4
						  \  +  / 
							 4


De linker tak is nu een voorbeeld van een problematisch geval. Maar de orde is er vanzelf al, het zijn immers reŰle getallen.

In het algemene geval kan je dan takken die op een reŰel getal ongelijk nul uitlopen door die reŰle waarde vervangen. En dat is wel te overzien. De vraag is echter, hoe weet je dat er geen eenvoudiger formeel getal (boomschema) bestaat dat gelijkaardig is.

#6

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 september 2011 - 19:14

Maar de orde is er vanzelf al, het zijn immers reŰle getallen.

Maar de orde is er niet op de metaformele getallen. Niet dat het een probleem hoeft te zijn er een (eenvoudige) te vinden. Heb je het proberen uit te werken om een idee te krijgen van wat de representanten op deze manier wss gaan worden (zonder dan al direct een rigoureus bewijs te hebben dat die zekerheid biedt)?

Veranderd door kee, 08 september 2011 - 19:16


#7

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 08 september 2011 - 19:28

Begin met de distributiviteit om vermenigvuldigingen zo ver mogelijk binnen de haakjes te brengen. Gebruik wel onmiddellijk al linkse en rechtse distributiviteit.


Die zin begrijp ik niet goed. Geef eens een voorbeeldje?

#8

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 september 2011 - 20:14

We willen voorwaarden zoeken waaraan we de formele getallen gaan moeten voldoen zodat voor elk metaformeel getal er precies 1 zo'n formeel getal is dat een representant is van dat metaformeel getal en aan de voorwaarden voldoet.

Na de eerste stap gaan er 'geen optellingen meer binnen vermenigvuldigingen staan' denk ik; er gaat volgens mij volgende voorwaarde naar boven komen (niet helemaal zeker): De bekomen representanten gaan formele getallen zijn die bestaan uit optellingen (met haakjes) van formele getallen die enkel uit vermenigvuldigingen (met haakjes) van reŰle getallen bestaan. (Ik bedoel de optelling en vermenigvuldiging die jij voorgesteld hebt door klaveren en ruiten natuurlijk.) Dus enkel nog vermenigvuldigingen binnen optellingen en geen optellingen binnen vermenigvuldigingen meer.

Veranderd door kee, 08 september 2011 - 20:21


#9

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 08 september 2011 - 20:27

We willen voorwaarden zoeken waaraan we de formele getallen gaan moeten voldoen zodat voor elk metaformeel getal er precies 1 zo'n formeel getal is dat een representant is van dat metaformeel getal en aan de voorwaarden voldoet.

Na de eerste stap gaan er 'geen optellingen meer binnen vermenigvuldigingen staan'; er gaat volgens mij volgende voorwaarde naar boven komen (niet helemaal zeker): De bekomen representanten gaan formele getallen zijn die bestaan uit optellingen (met haakjes) van formele getallen die enkel uit vermenigvuldigingen (met haakjes) van reŰle getallen bestaan. (Ik bedoel de optelling en vermenigvuldiging die jij voorgesteld hebt door klaveren en ruiten natuurlijk.)


Dat is een behoorlijk strenge voorwaarde. Er mag dan maar ÚÚn optelling voorkomen, en wel als afsluitende bewerking. Ik zal wat experimenteren om te zien of ik steeds zo'n representant kan vinden.

#10

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 september 2011 - 20:31

Nee er zijn wel nog meer optellingen, maar ze staan allemaal aan de 'buitenkant' (dwz er komt geen vermenigvuldiging meer na, want die breng je erbinnen). Je moet het zoals in de post vermeld zien als het optellen (met haakjes) van 'groepjes' met alleen de vemenigvuldiging (met haakjes) erin. Of bedoel je dat ook?

De tweede stap, 'inwisselbaarheid' wordt dan cruciaal. Ofwel worden daar je uitdrukkingen sterk vereenvoudigd, ofwel niet (en ook niet meer bij de commutativiteit, dat is gewoon volgorde). Volgens mij is het het laatste: je blijft de complexiteit behouden denk ik en zal zo denk ik zien dat het om een complex systeem gaat waar niet elegant mee gerekend kan worden.

Veranderd door kee, 08 september 2011 - 20:42


#11

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 08 september 2011 - 20:50

Waarschijnlijk gaat het toch lukken! Overal waar je een vermenigvuldiging met een som als factor ziet staan pas je de distributieve eigenschap toe (vermenigvuldig je dat uit). Dat moet voor eindige uitdrukkingen een keer stoppen, en dan staan er geen producten met een som als factor meer in.

Zulke zaken zouden voor niet-associatieve structuren toch uitgezocht moeten zijn?

#12

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 september 2011 - 21:16

Ja, zoiets bedoelde ik.

De reden dat ik nu echter twijfel of volgende stappen niet voor meer vereenvoudiging kunnen zorgen is volgende:

Stel dat je hebt na stap 2, dus waarna geen directe vervangingen door reŰle getallen meer mogelijk zijn (ik gebruik de gewone . en + ipv de tekens):

5.0+5.0

Dan kan je opnieuw de distributiviteit toepassen, maar dan omgekeerd, en krijg je 0.(5+5)=0.10 (merk op dat commutativiteit trouwens ook geldt).

Er kan dus wel nog verder vereenvoudigd worden, terwijl ik dacht dat mss zou kunnen bewezen worden dat dat niet meer zou kunnen. De voorwaarden gaan strenger moeten zijn dan ik eerst dacht.

De reden dat ik in stappen denk is om al een aantal vereenvoudigingen te kunnen doorvoeren en er meer vat op te krijgen. Maar het is niet omdat je alle stappen hebt uitgevoerd dat je representanten hebt. Je kan bij de distributiviteit dus blijkbaar toch gewoon weer terug keren en verder gaan. Er gaan strengere voorwaarden moeten zijn voor je hopelijk ooit gaat kunnen bewijzen dat de formele getallen niet meer equivalent zijn en je dus representanten hebt.

Veranderd door kee, 08 september 2011 - 21:18


#13

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 september 2011 - 21:21

Zulke zaken zouden voor niet-associatieve structuren toch uitgezocht moeten zijn?


Wellicht wel. Misschien valt het onder 'triviaal' (hoewel het dat nu niet echt is, alhoewel mss op een goede formele manier genoteerd wel)? Ik heb geen idee. Het is nu niet dat niet-associatieve structuren zo veel onderzocht worden, verre van.

Veranderd door kee, 08 september 2011 - 21:22


#14

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 09 september 2011 - 11:36

Definieer de complexiteit comp(A) van een formeel getal A als de helft van het aantal haakjes.

Definieer de gereduceerde complexiteit comg(A) van een formeel getal A als de kleinste waarde van comp(B) die voor aan A gelijkaardige formele getallen B mogelijk is.

Hopelijk is dan te bewijzen dat er voor ieder formeel getal A slechts eindig veel daaraan gelijkaardige formele getallen B bestaan waarvoor comp(B) = comg(A).

Daaruit kan dan op basis van een "alfabetische" ordening en ordening naar absolute grootte (hoe kleiner hoe beter) een 'eerste onder gelijken' gekozen worden.

#15

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 september 2011 - 14:24

Wat wil je daarmee doen? Een representantensysteem vinden? Dat lijkt me zo heel moeilijk, je weet absoluut niet hoe je die zo moet vinden voor een gegeven formeel getal. En als je al weet hoe, dan nog heb je geen controle over de structuur.

De orde snap ik niet. Wat bedoel je met alfabetische ordening en met absolute grootte? Ook: hebben equivalente formele getallen niet dezelfde reŰle waarde? (Dat zou mss bewezen kunnen worden).

Wat de uitwerking betreft die begonnen was in stappen: Ik ben er nog niet uit wat precies allemaal mogelijk is en wat niet. Mss kan je zelf verdergaan om dat uit te zoeken.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures