Springen naar inhoud

Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

MarkC

    MarkC


  • >25 berichten
  • 29 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 september 2011 - 13:06

Sinds een 2-tal maanden zoek ik gemiddeld 1 uur per dag naar de oplossing en betekenis van imaginaire getallen, en ik begin sterren te zien. ;)

product: x1 * x2 = X
som: x1 + x2 = Y <=> x2 = Y - x1
substitutie: x1 * (Y - x1) = X <=> x1≤ - Yx1 + X = 0

Neem onderstaande 2 voorbeelden waarbij D < 0:
- A
10
* 18
180

3,16227766 = wortel(10)
+ 4,242640687 = wortel(18)
7,404918347

-b/(2*a)= 3,702459174
+-i*D/2= 12,89541764
_ _ _

- B
10
* 18
180

2 = 10 - 8
+ 10 = 18 - 8
12

-b/(2*a)= 6
+-i*D/2= 12


Er wordt een resultaat bekomen, maar geen oplossing. Niettegenstaande er een duidelijk oorzakelijk verband is tussen som en product (wortel en -8), worden de getallen 10 en 18 niet gevonden.
Meer nog: doorheen de coŲrdinaat (3,70246 ; 12,895i) en (6 ; 12i) gaan oneindig veel oplossingen (2e-graads parabolen) !!

2000 jaar terug heeft iemand van enkele broden en vissen een paar duidenden kunnen voeden.
Ik laat niet alleen 2 getallen verdwijnen, er komen er oneindig veel in de plaats. Wie doet beter?

Op wiki staat de onstaansgeschiedenis van de imaginaire getallen.
Gezien er toen nog geen radar bestond, waarom heeft men zich toegelegd op dit resultaat dat geen oplossing is?
Is dit een nutteloze wiskundige verdwijntruc die ik beter op mijn belastingsbrief toepas?

De huidige toepassingen buiten beschouwing gelaten: wat betekent dit resultaat? Wat is de waarde van dit resultaat zonder oplossing, en hoe aan de oplossing (10 en 18) geraken?

Thanks.

Veranderd door MarkC, 15 september 2011 - 13:08


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 september 2011 - 13:27

product: x1 * x2 = X
som: x1 + x2 = Y <=> x2 = Y - x1
substitutie: x1 * (Y - x1) = X <=> x1≤ - Yx1 + X = 0

Neem onderstaande 2 voorbeelden waarbij D < 0:
- A
10
* 18
180

3,16227766 = wortel(10)
+ 4,242640687 = wortel(18)
7,404918347

-b/(2*a)= 3,702459174
+-i*D/2= 12,89541764
_ _ _

.

Wat is in vb A 10 en wat 18 ivm de kwadr verg in x1?

Wat is in die verg X en Y?

In een kwadr ax≤+bx+c=0 en al dan niet complexe wortels geldt altijd voor de opl x1 en x2:
x1+x2=-b/a en x1*x2=c/a.
Kan je dit bewijzen?

#3

MarkC

    MarkC


  • >25 berichten
  • 29 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 september 2011 - 13:58

Thanks voor antwoord Safe

Juist, niet volledig duidelijk geweest.

x1 * x2 = X = product
"gewijzigde x1" + "gewijzigde x2" = Y = som
=> waaruit de vergelijking: x≤ - Yx + X = 0

vergelijking A wordt: x≤ - 7,404918347 * x + 180 = 0
vergelijking B wordt: x≤ - 12 * x + 180 = 0

In een kwadr ax≤+bx+c=0 en al dan niet complexe wortels geldt altijd voor de opl x1 en x2:
x1+x2=-b/a en x1*x2=c/a.
Kan je dit bewijzen?

Dit begrijp ik niet?
Ik pas enkel de formules toe geldend voor een 2e-graads-vergelijking:
D = wortel(4ac - b≤) gezien D < 0
x1 = (-b + iD)/2a
x2 = (-b - iD)/2a
waarbij: ax≤ + bx + c = 0 analoog met x≤ - Yx + X = 0

Is er een mogelijkheid om x1 en x2 te vinden, zijnde 10 en 18 en/of hun gewijzigde vorm?

Veranderd door MarkC, 15 september 2011 - 14:06


#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 september 2011 - 15:04

Is er een mogelijkheid om x1 en x2 te vinden, zijnde 10 en 18 en/of hun gewijzigde vorm?

Lees ik nu dat x1=10 en x2 =18? Dat zijn reŽle getallen en niet complex.
Deze opl voldoen aan a(x-10)(x-18)=0 met a constant (die zou je complex kunnen nemen).

Elke kwadr verg ax≤+bx+c=0 met a,b,c reŽel waarvan de discr negatief is heeft complexe opl.

Wat wil je nu onderzoeken? En waarom? Heb je een opdracht?

Veranderd door Safe, 15 september 2011 - 15:06


#5

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 september 2011 - 15:14

Sinds een 2-tal maanden zoek ik gemiddeld 1 uur per dag naar de oplossing en betekenis van imaginaire getallen, en ik begin sterren te zien.

Wat bedoelde je hiermee, de 'waarde' of betekenis van imaginaire getallen in het algemeen? Of zoek je een specifiek complex getal voor een bepaalde vergelijking?

Beide vergelijkingen die je geeft hebben 2 oplossingen: vergelijking A, vergelijking B.

In beide gevallen geldt dat de twee oplossingen x1 en x2 complex zijn, dus niet 10 of 18. Geen idee wat je bedoelt met "gewijzigde vorm", wat zou er gewijzigd moeten zijn en hoe?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 september 2011 - 15:19

Op wiki staat de onstaansgeschiedenis van de imaginaire getallen.
Gezien er toen nog geen radar bestond, waarom heeft men zich toegelegd op dit resultaat dat geen oplossing is?
Is dit een nutteloze wiskundige verdwijntruc die ik beter op mijn belastingsbrief toepas?

Hoe bedoel je, "dit resultaat dat geen oplossing is"? Er zijn gewoon twee oplossingen, toevallig beide complex.

Misschien zit je met dat imaginaire gedoe in je maag, komt dat voor jou soms "verzonnen" of kunstmatig over? In dat geval: vind je dat een vergelijking zoals bijvoorbeeld x+5=0 een oplossing heeft? Waarom zou je complexe getallen geen oplossing noemen, en negatieve getallen wel?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

MarkC

    MarkC


  • >25 berichten
  • 29 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 september 2011 - 15:50

Enige vertraging met antwoord mijnentwege gezien we mogelijks een regering hebben in BE, en welke prijs betalen we ervoor...
En dit terwijl er in NL een nota 1 dag te vroeg is gelekt in de pers.


Bedankt leden voor jullie reactie en tijd.

In mijn voorbeelden A en B zie je een duidelijk oorzakelijk verband tussen het product en de som.

Voorbeeld A:
product = X = 10 * 18 = 180
som = Y = wortel(10) + wortel (18) = 7,404918347
Het bekomen resultaat van de vergelijking x≤ - 7,404918347 * x + 180 = 0 zijn complexe getallen, en dit terwijl ik van reŽle getallen ben vertrokken.

Idem met voorbeeld B:
product = X = 10 * 18 = 180
som = Y = (10 - 8) + (18 - 8) = 12.
Ook hier is het bekomen resultaat via de vergelijking x≤ - 12 * x + 180 = 0 een complex getal, en dit terwijl ik enkel met reŽle getallen ben gestart.

Waar zijn de reŽle getallen (10, 18, wortel(10), wortel(18), 10-8, 18-8) te vinden in het bekomen resultaat met imaginaire getallen?

Veranderd door MarkC, 15 september 2011 - 15:53


#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 september 2011 - 15:59

Graag antwoord op m'n vragen ... , anders is het onmogelijk je te helpen.

#9

MarkC

    MarkC


  • >25 berichten
  • 29 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 september 2011 - 16:55

Vraag is ontstaan uit interesse van een programma op TV. Er werd aangetoond dat negatieve getallen enkel hun waarde kunnen hebben bv op een bankrekening, want men kan dus niet -1 potlood hebben.
Verder sprak men dan ook over imaginaire getallen, en hun toepassing bij bv radar. Ik herinnerde me dat ik imaginaire getallen en de principes van radar ooit heb geleerd, maar nooit de connectie heb gemaakt.
Dus ging ik op "onderzoek" naar imaginaire getallen, en hoe deze ontstaan. En hierbij heb ik gezien hoe reŽle getallen "verdwijnen".

Ja, x1 = 10 en x2 = 18
Noem het dan x3 = wortel(10) en x4 = wortel(18).
Zodat x≤ - 7,404918347 * x + 180 = 0

Feit is dat ik vertrek van reŽle getallen (dus niet van imaginaire getallen) om een 2e-graads vergelijking op te stellen, en ik enkel complexe getallen als resultaat krijg.
Kan je met het bekomen imaginair resultaat de reŽle getallen 10, 18, wortel(10) of wortel(18) terugvinden, omdat we toch allen in eerste instantie werken met reŽle getallen en niet met imagnaire getallen. Dus zou het ook mooi zijn om een reŽle oplossing te hebben.

Mijn vraag is: kan men x1, x2, x3, x4 waarmee ik uiteindelijk de 2e-graads vergelijking mee heb opgesteld, terugvinden met het imaginair resultaat?
Indien niet -> verdwijntruc + oneindig veel oplossingen => case closed voor mij.

Thanks

Veranderd door MarkC, 15 september 2011 - 17:05


#10

MarkC

    MarkC


  • >25 berichten
  • 29 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 september 2011 - 17:17

Dus ja Rogier, het imaginaire gedoe zit in de maag...

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 september 2011 - 17:29

Een heel verhaal ...

Dus ging ik op "onderzoek" naar imaginaire getallen, en hoe deze ontstaan. En hierbij heb ik gezien hoe reŽle getallen "verdwijnen".

Deze zin is me volstrekt duister.


Feit is dat ik vertrek van reŽle getallen (dus niet van imaginaire getallen) om een 2e-graads vergelijking op te stellen, en ik enkel complexe getallen als resultaat krijg.

Dit kan en dat heb ik ook aangegeven, maar maak het eenvoudig:
Los eens op: x≤+1=0

Mijn vraag is: kan men x1, x2, x3, x4 waarmee ik uiteindelijk de 2e-graads vergelijking mee heb opgesteld, terugvinden met het imaginair resultaat?
Indien niet -> verdwijntruc + oneindig veel oplossingen => case closed voor mij.

Ik ben bang dat ik je hiermee niet kan helpen.

#12

MarkC

    MarkC


  • >25 berichten
  • 29 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 september 2011 - 17:42

x≤ + 1= 0

Ok, geen reŽle oplossing mogelijk.

Bedankt Safe en Rogier voor jullie tijd.

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 september 2011 - 17:55

OK! Succes met je zoektocht, het is de moeite waard ...

#14

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 september 2011 - 19:07

x≤ + 1= 0

Ok, geen reŽle oplossing mogelijk.

Maar je kan deze wel oplossen ... ?

#15

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2463 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 september 2011 - 19:12

x≤ + 1= 0

Ok, geen reŽle oplossing mogelijk.

Die conclusie is juist. Door nu een nieuw getal i te introduceren met de eigenschap dat i≤ = -1 lukt het wel om deze vergelijking op te lossen. Uitgaande van i≤ = -1 kunnen we nu schrijven: x≤+1 = x≤-i≤ = (x+i)(x-i), dus x≤+1 = 0 geeft: (x+i)(x-i) = 0, dus x+i = 0
of x-i = 0, dus x = -i of x = i, waarbij i de imaginaire eenheid is. Met behulp van complexe getallen is het dus mogelijk om oplossingen voor ax≤+bx+c = 0 te vinden als de discriminant negatief is.

Veranderd door mathreak, 15 september 2011 - 19:16

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures