Springen naar inhoud

Orthonormale basis van een polynoom


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Vinn

    Vinn


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 september 2011 - 16:44

Hallo,

Ik heb een klein wiskundig probleem, waar ik niet uit kom. Ik snap niet hoe ik van een polynoom mbt een inproduct, naar een orthonormale basis kom. Ik hoef niet zo zeer het antwoord, maar zou graag een aanwijzing krijgen hoe ik dit probleem kan oplossen.

Specifieke vraag:

Laat P(n) = {f : f(x) = Σ(i=0 tot n) ai * xi} de (n + 1)-dimensionale ruimte van n-graads
polynomen zijn.
Laat op deze ruimte het volgende inproduct gegeven zijn: <f,g> =∫(0 tot oneindig) f(x)g(x) e-x dx

Vindt de ortnormale basis van P(n), voor elke gegeven n, met betrekking tot dit inproduct.


Alvast bedankt voor de hulp

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 september 2011 - 19:07

Wat is de standaardbasis van polynomen van graad n? Eens je die hebt: hoe vind je normaal een orthonormale basis?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Vinn

    Vinn


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 september 2011 - 11:38

Bedankt voor je reactie.

Dat is al het eerste probleem wat ik tegen kom. Ik dacht dat van een (ne graads)polynoom een 1xn matrix gemaakt kon worden, maar dan kan deze geen basis vormen?!

Wat betreft orthonormale basis vinden van een gegeven matrix, zeg [v1, ..,v2] => [u1,..,un], berekenbaar un=vn/||vn||.

Het tweede probleem is, deze basis mbt het in product te berkenen.

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 09:45

Dat is al het eerste probleem wat ik tegen kom. Ik dacht dat van een (ne graads)polynoom een 1xn matrix gemaakt kon worden, maar dan kan deze geen basis vormen?!

We zullen dan eerst maar dit probleem proberen op te lossen ;). Waarom kan daar dan geen basis van gevormd worden? Nu, we kunnen het ook, naar mijn mening, iets intuÔtiever benaderen. Je hebt een willekeurige polynoom van (hoogstens) graad n; deze is dan van de vorm a0 + a1 x + ... + an xn. We weten verder dat een basis voortbrengend is en lineair onafhankelijk. We zoeken dus veeltermen, zo eenvoudig mogelijk, zodat met behulp van deze veeltermen we elke veelterm van hoogstens graad n kunnen vormen. En deze veeltermen moeten onafhankelijk van elkaar zijn... 'Zie' je nu geen logische keuze?

Verder ivm je orthonormalisatie ben ik niet helemaal zeker of je het juiste bedoelt... Bedoel je Gram-Schmidt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Vinn

    Vinn


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 12:05

(idd gram schmidt, slordig omschreven)

Zoals ik het nu begrijp bedoel je dat de basis opgemaakt wordt door a? Dus zeg voor P[2], is de orthonormale basis

u1= a0/||a0||
u2= (a1-proju1(a1))/||a1-proju1(a1)||


orthonormalebasis is dan [u1, u2]??

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 12:17

Laten we eerst maar een basis zoeken? Kun je die vinden met mijn 'tip' van hierboven?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Vinn

    Vinn


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 12:28

Nee, als dat hem niet was dan weet ik het niet. ;)

of nouja (a0, a1, a2, ..., an)

Veranderd door Vinn, 20 september 2011 - 12:29


#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 14:05

Je wilt een basis voor veeltermen. Zijn die a's veeltermen? Laten we eens kijken naar het geval n=1. Dan zijn je veeltermen dus van de vorm a+bx. Nu wil je veeltermen zoeken zodat elke veelterm als combinatie van deze veeltermen kan geschreven worden. Als ik je nu zeg dat {1,x} zo'n basis is. Vind je dit dan vreemd?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Vinn

    Vinn


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 21:15

(als 1*n?)
Dus zoals ik het nu begrijp is de basis voor ne graads polynomen slechts {1, x, ...,xn}

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 21:17

(als 1*n?)

Wat bedoel je hiermee?

Dus zoals ik het nu begrijp is de basis voor ne graads polynomen slechts {1, x, ...,xn}

Klopt. Maar snap je dat ook?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Vinn

    Vinn


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 21:19

Ja, dat is wel logisch achteraf gezien

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 21:22

Okee ;). Nu, dit is maar een basis hŤ. Er zijn er velen, maar dit is de eenvoudigste. Nu heb je je inproduct en moet je hiermee verder aan de slag.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Vinn

    Vinn


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 21:30

Juist :P de hamvraag

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 21:32

Je weet dat je Gram-Schmidt nodig hebt. Kun je hiermee aan de slag?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Vinn

    Vinn


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 21:39

Ik zie het verband niet met GS en het inproduct? ;)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures