Springen naar inhoud

Vectorruimte en basis


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 17:11

Hallo,
ik ben bezig met wat oefenopgaven en kom hier niet uit:

Zij V een vectorruimte en zij v, w ∈ V zo dat (v, w) een basis van V is.
Stel dat a,b ∈ R, a,b niet 0.
Laat zien dat in dit geval (v + w, a*v) en (a*v, b*w) ook bases van V zijn.

Wat ik in ieder geval wel weet is:
De vectoren v=(1,0) en w=(0,1) vormen een basis van V.
als ik er daarna een stelsel van maak dan krijg ik vreemde oplossingen als:
a=v+w en b=v^2+v*w, dus dat klopt denk ik niet, en ik weet niet hoe ik dit anders moet doen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 17:14

Je maakt het gecompliceerder dan nodig... Begin gewoon met de definitie: waar moet een basis aan voldoen? Vervolgens: wat is gegeven (dat is niet veel, dus moet je uit niet veel kiezen van wat je kunt gebruiken ;)).

Waar loop je hierin vast?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 17:18

Je maakt het gecompliceerder dan nodig... Begin gewoon met de definitie: waar moet een basis aan voldoen? Vervolgens: wat is gegeven (dat is niet veel, dus moet je uit niet veel kiezen van wat je kunt gebruiken ;)).

Waar loop je hierin vast?


Het stelsel moet lineair onafhankelijk zijn en volledig om een basis te vormen....
Dus misschien is het makkelijker om te controleren of de 2 gegeven bases, wel echt een basis zijn?
Maar hoe ik dat moest doen was ik nog niet uit, want dat deed ik verkeerd ;p

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 17:27

Het makkelijkste is inderdaad gewoon nagaan dat het een basis is. Bijv bij de eerste: lineair onafhankelijk. Dat betekent concreet dat je moet nagaan of m(v+w)+n(a*v) = 0 enkel als m=n=0. Neem dus: m(v+w)+n(a*v) = 0. Herschrijf dit tot (n + ma)*v + n*w = 0. We weten reeds dat {v,w} een basis is. Dus moet er gelden dat (n+ma)=n=0. Dus dit komt neer op n=ma=0. Daar nu a niet 0 is, hebben we dat n=m=0. En dit was te bewijzen. Kun je nu gelijkaardige trucjes doen voor de rest?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 17:36

Het makkelijkste is inderdaad gewoon nagaan dat het een basis is. Bijv bij de eerste: lineair onafhankelijk. Dat betekent concreet dat je moet nagaan of m(v+w)+n(a*v) = 0 enkel als m=n=0. Neem dus: m(v+w)+n(a*v) = 0. Herschrijf dit tot (n + ma)*v + n*w = 0. We weten reeds dat {v,w} een basis is. Dus moet er gelden dat (n+ma)=n=0. Dus dit komt neer op n=ma=0. Daar nu a niet 0 is, hebben we dat n=m=0. En dit was te bewijzen. Kun je nu gelijkaardige trucjes doen voor de rest?



Je bedoelde (m+na)*v + m*w=0.
Hier ben ik dan wel uit wijs gekomen, als er nog vragen zijn over de 2e dan laat ik dat wel weten :P
Bedankt voor de hulp ;)

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 17:42

Dat bedoelde ik inderdaad ;). Typfout. Je vergeet niet dat voortbrengend je ook nog rest?

En graag gedaan :P.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 18:00

Dat bedoelde ik inderdaad ;). Typfout. Je vergeet niet dat voortbrengend je ook nog rest?

En graag gedaan :P.


Ik weet hoe ik dat moet doen met getallen, maar bij (a*v,b*w)?

m*v + n*w= (a*v,b*w)
a=m en b=n, dus volledig?

(v+w,a*v):
m*v + n*w = (v+w,a*v)
m*v = v+w
n*w = a*v --> a= (n*w)/v
b kan elk willekeurig getal zijn? --> dus volledig?

#8

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 20:07

Ik weet hoe ik dat moet doen met getallen, maar bij (a*v,b*w)?

m*v + n*w= (a*v,b*w)
a=m en b=n, dus volledig?

(v+w,a*v):
m*v + n*w = (v+w,a*v)
m*v = v+w
n*w = a*v --> a= (n*w)/v
b kan elk willekeurig getal zijn? --> dus volledig?


goed, fout?
als het nl goed is dan snap ik het nog steeds niet ;)

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 20:10

Niet goed. Je vat het verkeerd op. Die (v,w) is geen vector in mijn ogen. Dat zijn twee vectoren die samen een basis vormen.

Om voortbrengend na te gaan, moet je je afvragen of voor elke u, element van de vectorruimte V, geldt dat er m, n in R bestaan zodat: m(v+w)+n(a*v) = u. En je weet dat er m', n' bestaan zodat: m'*v + n'*w = u. Kun je nu weer verder?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 20:19

Niet goed. Je vat het verkeerd op. Die (v,w) is geen vector in mijn ogen. Dat zijn twee vectoren die samen een basis vormen.

Om voortbrengend na te gaan, moet je je afvragen of voor elke u, element van de vectorruimte V, geldt dat er m, n in R bestaan zodat: m(v+w)+n(a*v) = u. En je weet dat er m', n' bestaan zodat: m'*v + n'*w = u. Kun je nu weer verder?


niet echt, ik heb nog eens gekeken naar een andere opdracht met getallen, en daarbij lukt het me wel om correct de basis aan te tonen....
maar ik moet dus een waarde vinden voor m en n zodat (...,...)=...*v+...*w, omdat ik geen getallen weet heb ik dus nog geen verder plan om hier uit te komen ;)

Veranderd door Jaimy11, 20 september 2011 - 20:22


#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 20:23

Waarom schrijf je nu (m,n)=...? Dat heb ik toch nergens staan? Die v en w zijn in se al vectoren! Die m en n zijn gewoon getallen.

Ben je btw zeker dat je dat van lineair onafhankelijk snapt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 20:26

Waarom schrijf je nu (m,n)=...? Dat heb ik toch nergens staan? Die v en w zijn in se al vectoren! Die m en n zijn gewoon getallen.

Ben je btw zeker dat je dat van lineair onafhankelijk snapt?


Ja sorry ;) ik zag het net staan, en dacht al huh, dat klopt niet, dus had het al (niet snel genoeg) verwijderd....
en ja, ik weet niet hoe ik moet aantonen dat iets een volledig stelsel is als je geen getallen hebt, normaal moet ik dit nl oplossen in R3 met gegeven vectoren....

#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 20:29

Nou, je weet dus dat er zo'n m' en n' (zie vorige post) bestaan. Akkoord?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#14

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 september 2011 - 20:36

Nou, je weet dus dat er zo'n m' en n' (zie vorige post) bestaan. Akkoord?


Als je met m' bedoelt m*a wel.... n' dan n*b, anders weet ik niet wat je bedoeld..

Laat die opmerking wederom maar zitten, het antwoord is gewoon nee ik snap het niet.

Veranderd door Jaimy11, 20 september 2011 - 20:39


#15

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2011 - 20:46

Die m' en n' zijn maar symbolen voor getallen hŤ... Ik had even goed symb1 en symb2 kunnen gebruiken. Alleen is dit korter ;).

Maar laat ik je maar wat op weg helpen. Je weet dat {v, w} een basis vormt. Dus bestaan er voor elke u, element van V, getallen m' en n' (zie opm hierboven) zodat m'*v + n'*w = u. We zouden nu graag weten of we ook getallen (m en n) kunnen vinden zodat m(v+w)+n(a*v) = u. We willen die m en n vinden dus! Hiervoor herschrijven we een beetje naar= (m + na)*v + m*w = u. Maar we weten nu ook dat m'*v + n'*w = u. Dus m'*v + n'*w = (m + na)*v + m*w. Of nog: (m' - (m + na))*v + m*w = 0. We weten nu dat {v, w} een basis is, dus...?

Maak jij het af?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures