. Ik weet natuurlijk niet welke studie het is, maar de beste manier om hiermee vlot om te kunnen gaan, is zoveel mogelijk gelijkaardige oefeningen te maken. Want waarschijnlijk kom je dat nog wel genoeg tegen 
.Laatste berichten
-
08:37
Randomisatie 5
-
08:24
raadsel: rolletjes 7
-
23:07
Magnesium: cofactor voor ATP-verbruikende enzymen 1
-
22:14
Berkenen dwarskracht op buis 2
-
18:12
arbeid 6
-
17:05
fourier 4
-
14:43
Biomassa
-
13:20
Casus uit de praktijk: positief test THC 63
-
11 jun
[wiskunde] Hoe maak je x vrij in 1/2(cos(4x))=cos(4x) 5
-
11 jun
Muziektopic 1854
-
11 jun
Straatklok loopt 5 minuten voor 22
-
10 jun
hoogte 13
-
09 jun
objecten 8
-
09 jun
[wiskunde] Verwarring met som- en verschilformules 5
-
08 jun
Wafer 7
-
07 jun
Dark Energy 28
-
07 jun
'Seahenge' prehistorische poging om periode van klimaatverandering te keren?
-
07 jun
EV laden met 8 vs 13 A 8
-
06 jun
[wiskunde] is dit toegestaan 7
-
04 jun
massa 9
Nieuwsberichten
Vectorruimte en basis
-
- Berichten: 10.179
Re: Vectorruimte en basis
Okee . Ik weet natuurlijk niet welke studie het is, maar de beste manier om hiermee vlot om te kunnen gaan, is zoveel mogelijk gelijkaardige oefeningen te maken. Want waarschijnlijk kom je dat nog wel genoeg tegen .
. Ik weet natuurlijk niet welke studie het is, maar de beste manier om hiermee vlot om te kunnen gaan, is zoveel mogelijk gelijkaardige oefeningen te maken. Want waarschijnlijk kom je dat nog wel genoeg tegen .Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 614
Re: Vectorruimte en basis
Okee
Wiskunde
Maar ja dus, dat kom ik nog genoeg tegen ;p
-
- Berichten: 10.179
Re: Vectorruimte en basis
Zeer goede keuzeWiskunde
. Ikzelf zit nu in mijn master Wiskunde. Nog veel succes ermee! (En hopelijk 'tot hier' met je vragen .)Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 614
Re: Vectorruimte en basis
Zeer goede keuze
Thnx
-
- Berichten: 614
Re: Vectorruimte en basis
V is een reele vectorruimte met n-dimensies.
Neem aan dat de basis van V n elementen bevat.
Bewijs:
1) Als v1,v2,...,vn in V zit, zodat v1,v2,...,vr lineair onafhankelijk is, dan is r n.
2) Als r [groter] n dan is het lineair afhankelijk.
Bij 1) snap ik dat er niet meer vectoren in kunnen zitten, want als je er een toevoegt, kun je een lineaire combinatie maken met al bestaande vectoren, maar hoe moet je dat bewijzen.
Zoals ik het zie geldt de lineaire onafhankelijkheid zolang vn=vr of vr n.
Als vn=vr dan geldt de lineaire onafhankelijkheid volgens de vraag, waardoor automatisch vr n ook lineair onafhankelijk is, omdat je van r lineair onafhankelijk vectoren altijd een vector weg kan halen waardoor er niks veranderd aan de lineaire onafhankelijkheid.
Maar ik weet bijna zeker dat dat bewijs niet goed genoeg is....
Bij 2) wilde ik het antwoord van vraag 1) gebruiken door te zeggen als vr n lineair onafhankelijk is, dan r [groter] n lineair afhankelijk, want aan het lineair onafhankelijke stelsel mocht je geen vectoren meer toevoegen, want dan kon je lineaire combinaties maken wat het stelsel afhankelijk maakt; dus r [groter] n lineair afhankelijk.
Neem aan dat de basis van V n elementen bevat.
Bewijs:
1) Als v1,v2,...,vn in V zit, zodat v1,v2,...,vr lineair onafhankelijk is, dan is r
n.2) Als r [groter] n dan is het lineair afhankelijk.
Bij 1) snap ik dat er niet meer vectoren in kunnen zitten, want als je er een toevoegt, kun je een lineaire combinatie maken met al bestaande vectoren, maar hoe moet je dat bewijzen.
Zoals ik het zie geldt de lineaire onafhankelijkheid zolang vn=vr of vr
n.Als vn=vr dan geldt de lineaire onafhankelijkheid volgens de vraag, waardoor automatisch vr
n ook lineair onafhankelijk is, omdat je van r lineair onafhankelijk vectoren altijd een vector weg kan halen waardoor er niks veranderd aan de lineaire onafhankelijkheid.Maar ik weet bijna zeker dat dat bewijs niet goed genoeg is....
Bij 2) wilde ik het antwoord van vraag 1) gebruiken door te zeggen als vr
n lineair onafhankelijk is, dan r [groter] n lineair afhankelijk, want aan het lineair onafhankelijke stelsel mocht je geen vectoren meer toevoegen, want dan kon je lineaire combinaties maken wat het stelsel afhankelijk maakt; dus r [groter] n lineair afhankelijk.-
- Berichten: 10.179
Re: Vectorruimte en basis
Ben je bekend met een bewijs uit contradictie? Dat kun je bij 1 doen. Stel dus lineair onafh en r>n. Toon waarom dat niet kan.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 614
Re: Vectorruimte en basis
Ben je bekend met een bewijs uit contradictie? Dat kun je bij 1 doen. Stel dus lineair onafh en r>n. Toon waarom dat niet kan.
Hmm.
(v1,v2,...,vr) is lineair onafhankelijk en stel r [groter] n.
Dan a1*v1+a2*v2+...+ar*vr=0 met a1,a2,...,ar=0
Als r [groter] n dan geldt a1*v1+a2*v2+...+a(n-2)*v(n-2)+a(n-1)*v(n-1)+ar*vr(=an*vn)+a(n+1)*v(n+1)+a(n+2)*v(n+2) waarbij a(n-2)*v(n-2)+a(n+2)*v(n+2)=an*vn=ar*vr
en ook a(n-1)*v(n-1)+a(n+1)*v(n+1)=an*vn=ar*vr
dus kun je lineaire combinaties maken voor alle r [groter] n en dus moet r
n?
En voor de 2e eenzelfde soort bewijs met de 1e regel omgedraaid?
(stel v1,v2,...,vr) is lineair onafhankelijk en r [groter] n
enz.
-
- Berichten: 10.179
Re: Vectorruimte en basis
Hmm, bij de eerste gaat het toch wat ingewikkelder zijn dan dat vrees ik . Je werkt uiteraard wel toe naar een contradictie, maar niet zo 'rechtstreeks' als eerst gedacht. Intuïtief lijkt het me wel evident dat die stelling klopt. Komt het er nu nog op aan dat in Wiskunde om te gieten. Het idee is om elke vector uit je basis te proberen vervangen met een vector vi en vast te stellen dat dit niet lukt (waarom niet?).
Beschouw dus een basis 0. Dan kunnen we schrijven:
Nu kunnen we dus zien dat als we w1 vervangen door v1, we nog steeds een basis voor V hebben. Zie je dit? Probeer het aan te tonen.
Ben je tot hier nog mee?
. Je werkt uiteraard wel toe naar een contradictie, maar niet zo 'rechtstreeks' als eerst gedacht. Intuïtief lijkt het me wel evident dat die stelling klopt. Komt het er nu nog op aan dat in Wiskunde om te gieten. Het idee is om elke vector uit je basis te proberen vervangen met een vector vi en vast te stellen dat dit niet lukt (waarom niet?).Beschouw dus een basis
\(\{w_1, w_2, \cdots, w_n\}\)
van V. Daar de w's een basis vormen, weten we dat: \(v_1 = a_1 w_1 + a_2 w_2 + \cdots + a_n w_n.\)
Deze a's kunnen niet allen 0 zijn, daar v1 niet de nulvector is. Zonder verlies van algemeenheid, kunnen we stellen dat a1 0. Dan kunnen we schrijven: \(w_1 = a_1^{-1} v_1 + a_1^{-1} a_2 w_2 + ... + a_1^{-1} a_n w_n.\)
Nu kunnen we dus zien dat als we w1 vervangen door v1, we nog steeds een basis voor V hebben. Zie je dit? Probeer het aan te tonen.
Ben je tot hier nog mee?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 614
Re: Vectorruimte en basis
Ja dit volg ik, hiermee toon je aan dat je elke vector van v kan schrijven als vector van w en vice versa.Drieske schreef:Hmm, bij de eerste gaat het toch wat ingewikkelder zijn dan dat vrees ik
Beschouw dus een basis\(\{w_1, w_2, \cdots, w_n\}\)van V. Daar de w's een basis vormen, weten we dat:\(v_1 = a_1 w_1 + a_2 w_2 + \cdots + a_n w_n.\)Deze a's kunnen niet allen 0 zijn, daar v1 niet de nulvector is. Zonder verlies van algemeenheid, kunnen we stellen dat a1\(w_1 = a_1^{-1} v_1 + a_1^{-1} a_2 w_2 + ... + a_1^{-1} a_n w_n.\)
Nu kunnen we dus zien dat als we w1 vervangen door v1, we nog steeds een basis voor V hebben. Zie je dit? Probeer het aan te tonen.
Ben je tot hier nog mee?
Je laatste zin van alinea 1; ik snap dat ik het moet aantonen, maar ik weet gewoon niet hoe anders dan de manier waarvan ik dacht dat het de juiste was.....
-
- Berichten: 10.179
Re: Vectorruimte en basis
Je moet goed voor ogen blijven houden wat we willen bewijzen hè... Zijnde?
En mijn vraag
En mijn vraag
sloeg op: probeer aan te tonen dat, gegeven de gelijkheid hierboven, er geldt datZie je dit? Probeer het aan te tonen.
\(\{v_1, w_2, \cdots, w_n\}\)
een basis vormt... Welke manier denk jij dat hier de juiste is? Overigens zit hier nog geen tegenspraak hoor... Dit kun én moet je aantonen. De tegenspraak zit in het feit dat we, als r>n, we teveel v's gaan kunnen toevoegen, indien r>n.Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 614
Re: Vectorruimte en basis
Maar het is toch al gegeven in de vraagstelling dat het een basis is?Drieske schreef:Je moet goed voor ogen blijven houden wat we willen bewijzen hè... Zijnde?
En mijn vraag
sloeg op: probeer aan te tonen dat, gegeven de gelijkheid hierboven, er geldt dat\(\{v_1, w_2, \cdots, w_n\}\)een basis vormt... Welke manier denk jij dat hier de juiste is? Overigens zit hier nog geen tegenspraak hoor... Dit kun én moet je aantonen. De tegenspraak zit in het feit dat we, als r>n, we teveel v's gaan kunnen toevoegen, indien r>n.
-
- Berichten: 10.179
Re: Vectorruimte en basis
Lees eens goed: er is gegeven datMaar het is toch al gegeven in de vraagstelling dat het een basis is?
\(\{w_1, w_2, \cdots, w_n\}\)
een basis vormt. Ik beweer nu dat \(\{v_1, w_2, \cdots, w_n\}\)
een basis vormt. Dat is te bewijzen (door jou).Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 614
Re: Vectorruimte en basis
Oja wat dom, slordig gelezen....Lees eens goed: er is gegeven dat\(\{w_1, w_2, \cdots, w_n\}\)een basis vormt. Ik beweer nu dat\(\{v_1, w_2, \cdots, w_n\}\)een basis vormt. Dat is te bewijzen (door jou).
Dat kun je toch gewoon analoog doen als in jouw berichtje met die w1?
v1 schrijven met dat stukje met a^-1
\(v_1 = a_1^{-1} w_1 + a_1^{-1} a_2 w_2 + ... + a_1^{-1} a_n w_n.\)
-
- Berichten: 10.179
Re: Vectorruimte en basis
Begrijp je nog goed waar we naartoe werken? En begrijp je wat je moet/wilt bewijzen, en hoe je dit normaal doet? Zoja, formuleer beiden dan eens 'gedetailleerd'... Want mij lijkt het dat je het noorden wat kwijt bent .
.Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 614
Re: Vectorruimte en basis
1) Als v1,v2,...,vn in V zit, zodat v1,v2,...,vr lineair onafhankelijk is, dan is rBegrijp je nog goed waar we naartoe werken? En begrijp je wat je moet/wilt bewijzen, en hoe je dit normaal doet? Zoja, formuleer beiden dan eens 'gedetailleerd'... Want mij lijkt het dat je het noorden wat kwijt bent
n.Bewijs:
Stel v1,v2,...,vn in V, zodat v1,v2,...,vr lineair onafhankelijk is en r [groterdan] n.
Gegeven is dat het een basis is, dus moet je laten zien dat v1,v2,...,vr volledig is, wat hier ervoor zorgt dat er zich een tegenspraak voordoet.
Stel vervolgens dat w1,w2,...,wn ook een basis is, waarbij je v1 kan schrijven als:
\(v_1 = a_1 w_1 + a_2 w_2 + ... + a_n w_n.\)
Dus ook w1,w2,...,wn lineair onafhankelijk en volledig....en bewijs de bewering dat v1,w2,...,wn ook een basis is.
\(w_1 = a_1^{-1} v_1 + a_1^{-1} a_2 w_2 + ... + a_1^{-1} a_n w_n.\)
dus v1,w2,...,wn lineair onafhankelijk..?