Wetenschapsforum

Hallo,

ik ben bezig met wat oefenopgaven en kom hier niet uit:

Zij V een vectorruimte en zij v, w ∈ V zo dat (v, w) een basis van V is.

Stel dat a,b ∈ R, a,b niet 0.

Laat zien dat in dit geval (v + w, a*v) en (a*v, b*w) ook bases van V zijn.



Wat ik in ieder geval wel weet is:

De vectoren v=(1,0) en w=(0,1) vormen een basis van V.

als ik er daarna een stelsel van maak dan krijg ik vreemde oplossingen als:

a=v+w en b=v^2+v*w, dus dat klopt denk ik niet, en ik weet niet hoe ik dit anders moet doen?

Je maakt het gecompliceerder dan nodig... Begin gewoon met de definitie: waar moet een basis aan voldoen? Vervolgens: wat is gegeven (dat is niet veel, dus moet je uit niet veel kiezen van wat je kunt gebruiken ).

Waar loop je hierin vast?

Drieske schreef:Je maakt het gecompliceerder dan nodig... Begin gewoon met de definitie: waar moet een basis aan voldoen? Vervolgens: wat is gegeven (dat is niet veel, dus moet je uit niet veel kiezen van wat je kunt gebruiken ).

Waar loop je hierin vast?

Het stelsel moet lineair onafhankelijk zijn en volledig om een basis te vormen....

Dus misschien is het makkelijker om te controleren of de 2 gegeven bases, wel echt een basis zijn?

Maar hoe ik dat moest doen was ik nog niet uit, want dat deed ik verkeerd ;p

Het makkelijkste is inderdaad gewoon nagaan dat het een basis is. Bijv bij de eerste: lineair onafhankelijk. Dat betekent concreet dat je moet nagaan of m(v+w)+n(a*v) = 0 enkel als m=n=0. Neem dus: m(v+w)+n(a*v) = 0. Herschrijf dit tot (n + ma)*v + n*w = 0. We weten reeds dat {v,w} een basis is. Dus moet er gelden dat (n+ma)=n=0. Dus dit komt neer op n=ma=0. Daar nu a niet 0 is, hebben we dat n=m=0. En dit was te bewijzen. Kun je nu gelijkaardige trucjes doen voor de rest?

Het makkelijkste is inderdaad gewoon nagaan dat het een basis is. Bijv bij de eerste: lineair onafhankelijk. Dat betekent concreet dat je moet nagaan of m(v+w)+n(a*v) = 0 enkel als m=n=0. Neem dus: m(v+w)+n(a*v) = 0. Herschrijf dit tot (n + ma)*v + n*w = 0. We weten reeds dat {v,w} een basis is. Dus moet er gelden dat (n+ma)=n=0. Dus dit komt neer op n=ma=0. Daar nu a niet 0 is, hebben we dat n=m=0. En dit was te bewijzen. Kun je nu gelijkaardige trucjes doen voor de rest?

Je bedoelde (m+na)*v + m*w=0.

Hier ben ik dan wel uit wijs gekomen, als er nog vragen zijn over de 2e dan laat ik dat wel weten

Bedankt voor de hulp

Dat bedoelde ik inderdaad . Typfout. Je vergeet niet dat voortbrengend je ook nog rest?

En graag gedaan .

Drieske schreef:Dat bedoelde ik inderdaad . Typfout. Je vergeet niet dat voortbrengend je ook nog rest?

En graag gedaan .

Ik weet hoe ik dat moet doen met getallen, maar bij (a*v,b*w)?

m*v + n*w= (a*v,b*w)

a=m en b=n, dus volledig?

(v+w,a*v):

m*v + n*w = (v+w,a*v)

m*v = v+w

n*w = a*v --> a= (n*w)/v

b kan elk willekeurig getal zijn? --> dus volledig?

Jaimy11 schreef:Ik weet hoe ik dat moet doen met getallen, maar bij (a*v,b*w)?

m*v + n*w= (a*v,b*w)

a=m en b=n, dus volledig?

(v+w,a*v):

m*v + n*w = (v+w,a*v)

m*v = v+w

n*w = a*v --> a= (n*w)/v

b kan elk willekeurig getal zijn? --> dus volledig?

goed, fout?

als het nl goed is dan snap ik het nog steeds niet

Niet goed. Je vat het verkeerd op. Die (v,w) is geen vector in mijn ogen. Dat zijn twee vectoren die samen een basis vormen.

Om voortbrengend na te gaan, moet je je afvragen of voor elke u, element van de vectorruimte V, geldt dat er m, n in R bestaan zodat: m(v+w)+n(a*v) = u. En je weet dat er m', n' bestaan zodat: m'*v + n'*w = u. Kun je nu weer verder?

Drieske schreef:Niet goed. Je vat het verkeerd op. Die (v,w) is geen vector in mijn ogen. Dat zijn twee vectoren die samen een basis vormen.

Om voortbrengend na te gaan, moet je je afvragen of voor elke u, element van de vectorruimte V, geldt dat er m, n in R bestaan zodat: m(v+w)+n(a*v) = u. En je weet dat er m', n' bestaan zodat: m'*v + n'*w = u. Kun je nu weer verder?

niet echt, ik heb nog eens gekeken naar een andere opdracht met getallen, en daarbij lukt het me wel om correct de basis aan te tonen....

maar ik moet dus een waarde vinden voor m en n zodat (...,...)=...*v+...*w, omdat ik geen getallen weet heb ik dus nog geen verder plan om hier uit te komen

Waarom schrijf je nu (m,n)=...? Dat heb ik toch nergens staan? Die v en w zijn in se al vectoren! Die m en n zijn gewoon getallen.

Ben je btw zeker dat je dat van lineair onafhankelijk snapt?

Drieske schreef:Waarom schrijf je nu (m,n)=...? Dat heb ik toch nergens staan? Die v en w zijn in se al vectoren! Die m en n zijn gewoon getallen.

Ben je btw zeker dat je dat van lineair onafhankelijk snapt?

Ja sorry ik zag het net staan, en dacht al huh, dat klopt niet, dus had het al (niet snel genoeg) verwijderd....

en ja, ik weet niet hoe ik moet aantonen dat iets een volledig stelsel is als je geen getallen hebt, normaal moet ik dit nl oplossen in R3 met gegeven vectoren....

Nou, je weet dus dat er zo'n m' en n' (zie vorige post) bestaan. Akkoord?

Nou, je weet dus dat er zo'n m' en n' (zie vorige post) bestaan. Akkoord?

Als je met m' bedoelt m*a wel.... n' dan n*b, anders weet ik niet wat je bedoeld..

Laat die opmerking wederom maar zitten, het antwoord is gewoon nee ik snap het niet.

Die m' en n' zijn maar symbolen voor getallen hè... Ik had even goed symb1 en symb2 kunnen gebruiken. Alleen is dit korter .

Maar laat ik je maar wat op weg helpen. Je weet dat {v, w} een basis vormt. Dus bestaan er voor elke u, element van V, getallen m' en n' (zie opm hierboven) zodat m'*v + n'*w = u. We zouden nu graag weten of we ook getallen (m en n) kunnen vinden zodat m(v+w)+n(a*v) = u. We willen die m en n vinden dus! Hiervoor herschrijven we een beetje naar= (m + na)*v + m*w = u. Maar we weten nu ook dat m'*v + n'*w = u. Dus m'*v + n'*w = (m + na)*v + m*w. Of nog: (m' - (m + na))*v + m*w = 0. We weten nu dat {v, w} een basis is, dus...?

Maak jij het af?