Springen naar inhoud

De optimale reiskoffer


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Eratosthenes

    Eratosthenes


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 september 2011 - 14:42

Een leuke vraag waar ik zelf een beetje mee in de knoei zit:

Piet gaat op reis en ziet op de website van KLM dat de maximale afmetingen van je koffer niet groter mogen zijn dan:

lengte + breedte + hoogte = 158 cm

of verkort weergegeven:

l + b + h = 158 cm

Piet vraagt zich af bij welke afmetingen het volume van het reiskoffer maximaal is. Bijvoorbeeld: Als l=1 b=1 en h=156 dan is het volume: V = 1*1*156 = 156 cm^3. Maar als l=40 b=40 en h=78 dan is het volume: V = 40*40*78 = 124800 cm^3.

( Voor het volume geldt dus: V = l*b*h )


Ik heb het probleem al eens benaderd m.b.v. een lineaire progammeringsmethode, maar er niets lineairs aan. Is deze vraag zo wel te beantwoorden of mist er een extra voorwaarde? Of zie ik iets over het hoofd?
Ik hoop dat iemand kan helpen ;)

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 23 september 2011 - 15:10

Je hebt één gegeven voor 3 variabelen, maw V is een functie van twee variabelen die je wil maximaliseren.
Daar zijn standaardmethoden voor.
Je kan iig V als functie van twee var schrijven, en misschien ligt het max direct voor de hand ...

Heb je al partieel differentiëren geleerd?

#3

Perseus

    Perseus


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 september 2011 - 15:50

Ik ben er vrij zeker van dat het optimale volume dat van een kubus is, dus LaTeX . Probeer het eerst eens te bewijzen voor twee dimensies, en dan uit te breiden naar 3 dimensies door om beurten 1 zijde vast te houden.

#4

E.Desart

    E.Desart


  • >1k berichten
  • 2391 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 september 2011 - 16:00

Ik heb het probleem al eens benaderd m.b.v. een lineaire progammeringsmethode, maar er niets lineairs aan. Is deze vraag zo wel te beantwoorden of mist er een extra voorwaarde? Of zie ik iets over het hoofd?
Ik hoop dat iemand kan helpen ;)

Of is dit gewoon een strik- of denkvraag?
Het grootste volume krijg je bij een kubus: dus 158/3 voor alle zijden.

PS: Bericht Perseus gekruist ....

Veranderd door E.Desart, 23 september 2011 - 16:03

Eric

#5

Eratosthenes

    Eratosthenes


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 september 2011 - 21:26

Bedankt allemaal voor jullie reacties. Het volgende (1) had ik al zelf geproduceerd. Vanaf 2 heb ik door jullie reacties ontdekt.

1
Zelf heb ik bedacht:
Gegeven: V = l·b·h en l+b+h = 158 cm
Hieruit volgt eenvoudig:
l = 158-b-h
Dit substitueren in de formule voor het volume geeft:
V = 158bh-b²h-h²b
Nu is de vraag hoe je dit optimaliseert...
Via lineair programmeren kun je het volgende bereiken:
Extra gegeven is dat sowieso moet gelden:
b+h < 158 cm
Dus:
b < 158-h
Dit in een grafiek intekenen levert het volgende:

Grafiek_lineair_programmeren_03.jpg

Nu moet de gewenste doelfunctie: V = 158bh-b²h-h²b in het gebied onder de rode lijn komen te liggen dat ik met een grijze stift heb aangegeven. Dit doe je normaal door voor V een aantal waardes te nemen (meestal 3) en te kijken in welke richting de (rechte) lijnen verschuiven om zo het maximum te bepalen. Alleen gaat dat nu niet omdat de doelfunctie geen rechte lijn is en de hoekpunten van het toegestane gebied geen uitkomst bieden.... Deze methode loopt dus vast.

@ Safe:
Partieel differentiëren levert in beide gevallen dat b+h = 158 cm. Dat is nietszeggend.


2
Als ik de vraag vereenvoudig tot de vraag wanneer een oppervlakte maximaal is dan levert dit het volgende:
Gegeven: Opp = a·b en a + b = 158 cm
Hieruit volgt:
a = 158-b
Dit substitueren in de formule voor de oppervlakte levert:
Opp = (158-b)·b
Opp = -b²+158b
De oppervlakte is maximaal als geld:
Opp' = 0
-2b +158 = 0
b = -158/-2
b = 1/2·158
b = 79 cm

Hiermee is met een getallenvoorbeeld bewezen dat in het algemeen geldt dat de oppervlakte van een rechthoek maximaal is als het figuur een vierkant is en beide zijdes dus even lang zijn.

Voor het maximale volume mag je nu aannemen dat dit eveneens geldt als alle zijdes maximaal zijn.
Ter ondersteuning:
V = x·x·x
V = x³
Als je nu van een zijde a afhaalt en ergens anders erbij stopt krijg je:
V = (x-a)·(x+a)·x
Dit levert:
V = x³ - a²x
Dit toont aan dat bij een wijziging van de zijdes het volume altijd zal afnemen.
Hiermee is bewezen dat het in de andere 2 reacties geschreven feit waar is: De inhoud is maximaal bij de vorm van een kubus.

Voor zover is mijn vraag dus opgelost.


Waar ik eigenlijk meer naar opzoek ben is een methode zoals ik de berekening gestart ben bij 1. Of is dit eenvoudig weg niet mogelijk omdat je dan een doelfunctie heb met te weinig voorwaarden waardoor er oneindig veel oplossing uit het stelsel volgen?

Ik hoop dat iemand mij kan helpen ;)

Veranderd door Eratosthenes, 23 september 2011 - 21:30


#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 september 2011 - 19:41

@ Safe:
Partieel differentiëren levert in beide gevallen dat b+h = 158 cm. Dat is nietszeggend.

Hoe kom je hieraan?
Het is niet goed.

Veranderd door Safe, 24 september 2011 - 19:42






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures