Bedankt allemaal voor jullie reacties. Het volgende (
1) had ik al zelf geproduceerd. Vanaf
2 heb ik door jullie reacties ontdekt.
1
Zelf heb ik bedacht:
Gegeven: V = l
·b
·h en l+b+h = 158 cm
Hieruit volgt eenvoudig:
l = 158-b-h
Dit substitueren in de formule voor het volume geeft:
V = 158bh-b²h-h²b
Nu is de vraag hoe je dit optimaliseert...
Via lineair programmeren kun je het volgende bereiken:
Extra gegeven is dat sowieso moet gelden:
b+h < 158 cm
Dus:
b < 158-h
Dit in een grafiek intekenen levert het volgende:
[attachment=8549:Grafiek_...meren_03.jpg]
Nu moet de gewenste doelfunctie: V = 158bh-b²h-h²b in het gebied onder de rode lijn komen te liggen dat ik met een grijze stift heb aangegeven. Dit doe je normaal door voor V een aantal waardes te nemen (meestal 3) en te kijken in welke richting de (rechte) lijnen verschuiven om zo het maximum te bepalen. Alleen gaat dat nu niet omdat de doelfunctie geen rechte lijn is en de hoekpunten van het toegestane gebied geen uitkomst bieden.... Deze methode loopt dus vast.
@ Safe:
Partieel differentiëren levert in beide gevallen dat b+h = 158 cm. Dat is nietszeggend.
2
Als ik de vraag vereenvoudig tot de vraag wanneer een oppervlakte maximaal is dan levert dit het volgende:
Gegeven: Opp = a
·b en a + b = 158 cm
Hieruit volgt:
a = 158-b
Dit substitueren in de formule voor de oppervlakte levert:
Opp = (158-b)
·b
Opp = -b²+158b
De oppervlakte is maximaal als geld:
Opp' = 0
-2b +158 = 0
b = -158/-2
b = 1/2
·158
b = 79 cm
Hiermee is met een getallenvoorbeeld bewezen dat in het algemeen geldt dat de oppervlakte van een rechthoek maximaal is als het figuur een vierkant is en beide zijdes dus even lang zijn.
Voor het maximale volume mag je nu aannemen dat dit eveneens geldt als alle zijdes maximaal zijn.
Ter ondersteuning:
V = x
·x
·x
V = x³
Als je nu van een zijde a afhaalt en ergens anders erbij stopt krijg je:
V = (x-a)
·(x+a)
·x
Dit levert:
V = x³ - a²x
Dit toont aan dat bij een wijziging van de zijdes het volume altijd zal afnemen.
Hiermee is bewezen dat het in de andere 2 reacties geschreven feit waar is: De inhoud is maximaal bij de vorm van een kubus.
Voor zover is mijn vraag dus opgelost.
Waar ik eigenlijk meer naar opzoek ben is een methode zoals ik de berekening gestart ben bij
1. Of is dit eenvoudig weg niet mogelijk omdat je dan een doelfunctie heb met te weinig voorwaarden waardoor er oneindig veel oplossing uit het stelsel volgen?
Ik hoop dat iemand mij kan helpen
