Springen naar inhoud

Complex getal bewijzen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 september 2011 - 21:02

Ik kwam deze vraag over complexe getallen tegen:

Gegeven: |Z1 + Z2| = |Z1 - Z2| en Z2 ;) 0

Te bewijzen: Z1 / Z2 = een zuiver imaginair getal

Ik dacht misschien eerst alles delen door Z2 zodat je krijgt:

|Z1 / Z2 +1| = |Z1 / Z2 -1|

Z1 / Z2 schrijven we evenals a+bi:

|(a+bi) + 1| = |(a+bi) - 1| = |(a+1) + bi| = |(a-1) + bi|

Alles in het kwadraat:

|a2 + 2a +1 - b2| = |a2 -2a + 1 - b2|

Je kunt nu alles tegen elkaar wegstrepen, alleen 2a blijft over. Nou heb ik dus bewijzen dat het een reŽel getal is...

Kan iemand mij vertellen wat ik verkeerd doe?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 september 2011 - 21:21

Ik kwam deze vraag over complexe getallen tegen:

Gegeven: |Z1 + Z2| = |Z1 - Z2| en Z2 ;) 0

Te bewijzen: Z1 / Z2 = een zuiver imaginair getal

Ik dacht misschien eerst alles delen door Z2 zodat je krijgt:

|Z1 / Z2 +1| = |Z1 / Z2 -1|

Z1 / Z2 schrijven we evenals a+bi:

|(a+bi) + 1| = |(a+bi) - 1| = |(a+1) + bi| = |(a-1) + bi|

Tot hier gaat alles goed. Werk nu de absolute waarde (modulus) gewoon uit? De definitie daarvan vind je bijv hier. Dan kwadrateren om van die wortel af te zijn, geeft je quasi wat jij al had:
LaTeX
Dit uitwerken, leidt tot:
4 a = 0,
dus
a = 0.
En dit was net wat je wou... Jij was hier dus ook bijna :P.

Overigens mag je dus niet gewoon wegstrepen zolang er absolute waardes staan hŤ. Wat jij dus wťl deed (en dan nog zou je eigenlijk (toevallig) tot dezelfde conclusie moeten zijn gekomen).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 september 2011 - 21:49

Ah natuurlijk, via r dus berekenen wat a is, en als a nul is betekent dat dat er dus bi overblijft, dus:

Z1/Z2 = bi

Veranderd door Nesta, 23 september 2011 - 21:49


#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 september 2011 - 21:52

Inderdaad ;). Maar was je bekend met die definitie van 'absolute waarde' (bij complexe getallen spreekt men normaal van modulus)? En begrijp je mijn opmerking waarom je niet gewoon mag schrappen zolang er "|" rond staan?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 september 2011 - 21:57

Ja de modulus en θ ken ik inderdaad.
Dat met de absoluut strepen had ik geen idee van, maar dat weet ik nu!

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 september 2011 - 21:59

Bekijk dan even onderstaand simpel voorbeeld: |2 - 1| = |2 - 3|. Als ik nu de twee schrap, krijg ik |-1| = |-3|. Dit klopt uiteraard niet...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 september 2011 - 22:30

Ja nu je het zo neerzet snap ik inderdaad dat het niet kan. Dank je wel voor de duidelijke uitleg!

#8

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 september 2011 - 22:36

Dit voorbeeld van Drieske toont het inzichtelijk aan voor niet-complexe getallen. Die stel je voor op een as. Een norm is steeds een positief ťn natuurlijk getal. Het negatieve deel van de reŽle getallen zorgt dus dat er twee manieren zijn om dezelfde absolute waarde te bekomen. Dat kan je zien door die absolute waarde als een aftand te bekijken: 5 en -5 liggen beide even ver van de oorsprong.

Een complex getal stel je voor in het complexe vlak. Daar moet je de | streepjes dus weer zien als norm: alle getallen met dezelfde norm liggen even ver van de oorsprong, op een cirkel dus.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 september 2011 - 20:06

|(a+bi) + 1| = |(a+bi) - 1| <=> |(a+1) + bi| = |(a-1) + bi|

Alles in het kwadraat:

|a2 + 2a +1 - b2| = |a2 -2a + 1 - b2|

Die stap is fout. Wat is de definitie van |z|^2 met z=a+bi (a,b reŽle getallen)?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures