Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 682
Goedendag,
Bewijs dat
\((A^{-1})^{-1}=A\)
Met A een n x n matrix.
Ik weet dat geldt:
\(A^{-1}A=I\)
en
\(AA^{-1}=I\)
.
Maar hoe kan ik deze informatie gebruiken om
\((A^{-1})^{-1}=A\)
te bewijzen?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Arie Bombarie schreef:Goedendag,
Bewijs dat
\((A^{-1})^{-1}=A\)
Met A een n x n matrix.
Ik weet dat geldt:
\(A^{-1}A=I\)
en
\(AA^{-1}=I\)
.
Maar hoe kan ik deze informatie gebruiken om
\((A^{-1})^{-1}=A\)
te bewijzen?
Gebruik de tweede:
\(BB^{-1}=I\)
. Wat moet je voor B nemen?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
-
- Berichten: 682
Dat snap ik helaas niet
.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Wat zie je als je dat voor B invult?
-
- Berichten: 682
\(A^{-1}(A^{-1})^{-1}=I\)
?
-
- Berichten: 7.390
Zet daar tegenover:
\(A^{-1}A=I\)
.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 682
Dan geldt inderdaad
\((A^{-1})^{-1}=A\)
Maar waarom
\(B=A^{-1}\)
blijft een raadsel voor mij.
-
- Berichten: 10.179
Wat Safe bedoelt, denk ik, is het volgende: je weet dat er geldt
\(BB^{-1} = I\)
, en dit voor elke B. Dus ook voor de keuze van
\(B = A^{-1}.\)
Dit betekent dus gewoon: vervang B in je formule hierdoor...
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Arie Bombarie schreef:Dan geldt inderdaad
\((A^{-1})^{-1}=A\)
Maar waarom
\(B=A^{-1}\)
blijft een raadsel voor mij.
Je hebt gelijk het lijkt wel of je beduveld wordt.
Je moet bedenken dat we het hebben over nxn inverteerbare matrices.
Als we schrijven:
\(A^{-1}A=I\)
en
\(AA^{-1}=I\)
.
Dan staat er dat we te maken hebben met een inverteerbare nxn matrix A, dus ook A^-1.
\(B^{-1}B=I\)
en
\(BB^{-1}=I\)
.
Hier staat dat B eveneens een inverteerbare nxn matrix is, maar dan mag ik voor B ook A^-1 gebruiken dus
\(B=A^{-1}\)
en ga zelf verder ...
-
- Berichten: 682
Hartelijk dank voor de antwoorden.
Als we hebben:
\(B=A^{-1}\)
(waarin B een inverteerbare n x n matrix is, en waarvoor dus geldt
\(B^{-1}B=I_{n}\)
en
\(BB^{-1}=I_{n}\)
, en ervan uitgaande dat
\(A^{-1}\)
bestaat).
Dan kunnen we B invullen in:
\(BB^{-1}=I_{n}\)
Dan krijgen we:
\(A^{-1}(A^{-1})^{-1}=I_{n}\)
En daaruit volgt dat:
\((A^{-1})^{-1}=A\)
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058