Complexe functies

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 103

Complexe functies

hallo,

de volgende afleiding begrijp ik niet zo goed; de afleiding werd uitgevoerd in het kader van hyperbolische en trigonometrische functies.

basis formule is de gelijk heid van Euler:
\(e^{x+i.y}=e^{}.(cos(y)+i.sin(y))\)
hieruit volgt:
\( a+i.b = e^{x+i.y}\)
,

men wil het complex getal omzetten naar de vorm
\(e^{x+i.y}\)
vervolgens stelt men dat:
\(ln(a+ib) = x+iy\)
men gaat dan direct over naar volgende beweringen:
\(x=ln(a+ib)\)
\(y=Bgtan(a+ib)\)
hoe komt men tot de laatste vergelijkingen ?

staan die x en y in relatie met
\(e^{x}(cos(y)+isin(y)\)
, maar dan heb ik geen idee hoe men hier aan komt

grtz

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Complexe functies

blackbox schreef:
\(x=ln(a+ib)\)
\(y=Bgtan(a+ib)\)
hoe komt men tot de laatste vergelijkingen ?

staan die x en y in relatie met
\(e^{x}(cos(y)+isin(y)\)
, maar dan heb ik geen idee hoe men hier aan komt
\(x=ln(a+ib)\)
\(y=Bgtan(a+ib)\)
Het bovenstaande is onzin x en y zijn reële getallen en de rechterleden zijn complex.
\(a+bi=e^{x}(cos(y)+isin(y)\)
Wat volgt hieruit voor a en b en natuurlijk zijn a en b reëel ...

Berichten: 103

Re: Complexe functies

dit is ook exact wat ik dacht!

sloeg immers op niets

danku!

grtz

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Complexe functies

Ja, maar heb je het wel goed overgenomen ...

Berichten: 103

Re: Complexe functies

Ja, maar heb je het wel goed overgenomen ...


wat bedoel je hiermee ?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Complexe functies

Ben je zeker dat het zo is dat de prof (?) het schreef, of kan het dat jij een foutieve gelijkheid hebt overgeschreven?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Complexe functies

wat bedoel je hiermee ?
Er stond toch onzin, zoals ik aangaf ...

Berichten: 103

Re: Complexe functies

mijn fout: ik had je antwoord verkeerd begrepen

ontopic: ja ik heb het exact zo uit de cursus overgenomen

het slaat inderaad volkomen op niets, al een geluk want anders had ik het nooit begrepen wrs.

danku

grtz

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Complexe functies

Wat was het doel van je cursus?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 103

Re: Complexe functies

-inleiding tot complexe getallen

-omzetting cartesische beschrijving naar polaire beschrijving

-uitbreiding naar de formule van euler; complexe functie's en worteltrekking van complexe getallen

cursus is een gedrukte versie dus ik heb het deel dat ik niet begreep (=mijn vraag dus) niet bij genoteerd als informatie; ik vermeod dus dat de docent hier per ongeluk een grove fout heeft begaan; ofwel heeft hij nieuwe wiskunde ontdekt ;)

rest mij wel nog één vraagje; hoe stel ik complexe nulpunten grafisch voor naar analogie van een 2de graadsvergelijking
\(f(x)=x^{2}-1=(x+1).(x-1)\)
dit kan eenvoudig in een xy grafiek worden weergegeven

immers;
\(f(x)\)
is de vermenigvuldiging van
\( (x-1) en (x+1)\)
wat met:
\( g(x)=x^{2}+1=(x-i).(+i)\)
?
\( h(x)=0,5.x^{2}+x+1=(x-(-1+i)).(x-(-1-i))\)
?

hoe stel ik zulke functie grafisch voor

mijn idee: h(x) en g(x) zijn complexe functie's; deze zijn in feit op te vatten als multivariabele functie's met als parameters een reel gedeelte en een imaginaire gedeelte

de derde as zal dan het resultaat zijn

klopt dit idee/concept?

zo ja hoe stel ik dit grafisch voor ?

grtz

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Complexe functies

zo ja hoe stel ik dit grafisch voor ?
Ga eens na hoe je grafieken van functies in R tekent. Je hebt een as voor het argument x en een as voor f(x), kortom een 2D figuur.

Maar in C heb je twee assen nodig voor het argument z maar ook twee assen voor f(z) dus een 4D figuur.

Dus hoe doen we dat?

Een mogelijkheid is. Kies een baan in het (complexe) z-vlak bv een lijn y=x.

Zet er naast het beeldvlak w=f(z) voor deze punten. Probeer dat eens voor w=f(z)=z².

Berichten: 103

Re: Complexe functies

\(f(z)=z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2iyx-y^{2}\)
de complexe functie f(x) bestaat uit 2 delen:

* reel deel:
\( Re(z)=x^{2}-y^{2}\)
*imaginair deel:
\(Im(z)=2iyx\)
ik heb in paint een tekening gemaakt om het principe/idee ervan te tonen, dat ik ervan heb:

Afbeelding
\(Re(z)=x^{2}-y^{2}\)
; in feit is dit dan een gewone multivariabele functie met nulpunt bij
\( x = 0; y = 0\)
Afbeelding
\( Im(z)=2ixy\)
weerom een multivariabele functie die wordt vermenigvuldigd met i

de totale oplossing
\(f(z) = Re(z)+Im(z)\)
stel dat de complexe functie f(z) enkel een reele component Re(z) bevat; dan zal de functie worden:
\( f(z) => f(x): z^{2} = x^{2}-y^{2}+2iyx =>x^{2}\)
zodat de (invloed' van de y as (dus een imaginair) gedeelte 0 is.

klopt dit ?

is er gratis software (goede )beschikbaar waarmee ik complexe functie's kan plotten en eenvoudige tot hogere bewerkingen (afleiden, integreren) op kan uitoefenen ?

grtz

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Complexe functies

Je zou uitgaan van y=x, ofwel het reele deel is gelijk aan het imaginaire deel.

Ga enkele ptn na: bv x=y=0, x=y=1/2, x=y=1, x=y=2 en ook x=y=-1/2, x=y=-1 en x=y=-2

w=f(z)=z²=x²-y²+i*2xy en met x=y volgt w=...

Er moeten twee figuren naast elkaar staan, z=vlak en w-vlak.

Berichten: 103

Re: Complexe functies

Je zou uitgaan van y=x, ofwel het reele deel is gelijk aan het imaginaire deel.

Ga enkele ptn na: bv x=y=0, x=y=1/2, x=y=1, x=y=2 en ook x=y=-1/2, x=y=-1 en x=y=-2

w=f(z)=z²=x²-y²+i*2xy en met x=y volgt w=...

Er moeten twee figuren naast elkaar staan, z=vlak en w-vlak.
ik begrijp niet wat je hiermee bedoelt.
\(f(z)=z^{2}\)
dus
\( f(z)=x^{2}-y^{2}+2ixy\)
\( Re(z) + Im(z) = x^{2}-y^{2}+2ixy\)
waarom moet x = y?

wat bedoel je met het z vlak en w vlak?

wat is er fout met de manier waarop ik het bekijk (dus de tekeingen die ik heb gemaakt) ?

kan je anders ook een tekening maken; zodat ik het mss beter begrijp wat je bedoeling is ?

grtz

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Complexe functies

Kan jij een 4D tekening maken? Zo ja, doe dat ...

Daarom gaan we uit van 'banen' in het z-vlak en tekenen de grafiek van zo'n baan in het w-vlak.

De baan in het z-vlak is de lijn y=x, die kan je eenvoudig tekenen.

Wat is het beeld?

Daarvoor hebben we het w-vlak, teken nu wat ik heb aangegeven.

Reageer