Springen naar inhoud

Hulp nodig bij ggd en modulo


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Yoran1991

    Yoran1991


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 oktober 2011 - 17:03

Hallo allemaal,

ik heb hulp nodig met een opgave die ik moet maken voor groepentheorie. Ik heb de opgave vrijwel helemaal af, maar er mist slechts 1 bewijs. Ik moet het volgende bewijzen:

Als ggd(a,24) = 1, dan a^2 = 1 mod 24 .

Wat ik tot nu toe heb is dit (ik weet ook niet of het in de goede richting is):

1. a en 24 zijn relatief priem, dus ggd(a,24) =1. Dit is equivalent met:
LaTeX
2. Dus LaTeX met r=-s.
3. Dus at = 1 mod 24

Verder kom ik niet echt... is er iemand die een hint kan geven?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 01 oktober 2011 - 18:29

Je weet toch welke getallen a relatief priem met 24 zijn?
Bepaal dan aČ.

#3

Yoran1991

    Yoran1991


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 oktober 2011 - 18:38

Nou, het probleem is dus dat a een willekeurig getal is relatief priem met 24..
ik zie wel dat 5^2 = 1 mod 24, 7^2 = 1 mod 24 etc... maar ik wil graag het bewijs leveren voor willekeurige a relatief priem met 24

Veranderd door Yoran1991, 01 oktober 2011 - 18:38


#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 01 oktober 2011 - 19:11

Nou, het probleem is dus dat a een willekeurig getal is relatief priem met 24..
ik zie wel dat 5^2 = 1 mod 24, 7^2 = 1 mod 24 etc... maar ik wil graag het bewijs leveren voor willekeurige a relatief priem met 24

Dat begrijp ik en dat komt nog, maar probeer het eerst met bv 5, want ...

#5

Yoran1991

    Yoran1991


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 oktober 2011 - 21:46

Ik begrijp niet precies wat je bedoelt ;)
Bedoel je dat ik a=5 moet stellen in mijn 'bewijs'?
Of bedoel je dat ik moet checken dat 5^2 = 1 mod 24?

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 oktober 2011 - 08:10

Precies! En de andere mogelijkheden ...

#7

Yoran1991

    Yoran1991


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2011 - 10:16

Ik weet dat de getallen 5,7,11,13,17,19,23 relatief priem met 24 zijn, en dat ze allemaal 1 mod 24 zijn als ik ze kwadrateer. Mijn punt is juist dat ik dit voor een willekeurig getal wil laten zien en het niet voor elk getal expliciet uit wil rekenen.

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 oktober 2011 - 10:37

Ik veronderstel dat je weet: LaTeX Kun je daar niets mee doen hier?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Yoran1991

    Yoran1991


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2011 - 11:09

Ik veronderstel dat je weet: LaTeX

Kun je daar niets mee doen hier?


Ik heb die equivalentie bij stap 2. naar 3. gebruikt in mijn 'bewijs'. Ik weet niet wat ik er verder mee zou kunnen doen. Ik probeer nu met een getal aan beiden zijden te vermenigvuldigen, maar dat lijkt ook niet echt ergens op uit te komen ;)

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 oktober 2011 - 11:12

Maar je moet het niet op 'jouw' a gebruiken. Je weet dus dat a relatief priem is met 24. Is aČ dat dan ook?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Yoran1991

    Yoran1991


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2011 - 11:27

Maar je moet het niet op 'jouw' a gebruiken. Je weet dus dat a relatief priem is met 24. Is aČ dat dan ook?


Hmm, ik denk het wel, maar ik moet het nog wel even bewijzen

Edit:
Als ik at+24s = 1 aan beiden zijden kwadrateer, krijg ik LaTeX voor p en r in Z.
Dus die zijn inderdaad relatief priem

Veranderd door Yoran1991, 02 oktober 2011 - 11:32


#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 oktober 2011 - 11:31

De makkelijkste manier om dit in te zien is priemfactorontbinding van je getal a (noem die factoren bijv p1, ..., pk). Dan kun je alvast opmerken dat, omdat 24 = 2.3.4, al deze factoren groter moeten zijn dan 5 (of gelijk aan). Helpt dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Yoran1991

    Yoran1991


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2011 - 11:38

De makkelijkste manier om dit in te zien is priemfactorontbinding van je getal a (noem die factoren bijv p1, ..., pk). Dan kun je alvast opmerken dat, omdat 24 = 2.3.4, al deze factoren groter moeten zijn dan 5 (of gelijk aan). Helpt dit?


Ik heb nu at+24s = 1 aan beiden zijden gekwadrateerd, dan krijg ik dat
LaTeX
Al die producten van getallen t^2, 2ats en 24s^2 zitten weer in Z dus zijn a en 24 relatief priem. Daaruit kan ik weer aantonen dat a^2 = 1 mod 24 (op dezelfde manier zoals ik helemaal bovenaan heb gedaan)

Klopt het dan?

Veranderd door Yoran1991, 02 oktober 2011 - 11:39


#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 oktober 2011 - 11:44

Kun je het eens preciezer uitschrijven? Je weet dat aČ relatief priem is met 24. Om evidente redenen zoals hierboven geschetst. We willen nu dus bewijzen dat LaTeX . Dit was equivalent met LaTeX

Uit het relatief priem zijn, weet je dat ggd(aČ, 24) = 1.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Yoran1991

    Yoran1991


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2011 - 11:58

Kun je het eens preciezer uitschrijven? Je weet dat aČ relatief priem is met 24. Om evidente redenen zoals hierboven geschetst. We willen nu dus bewijzen dat LaTeX

. Dit was equivalent met LaTeX

Uit het relatief priem zijn, weet je dat ggd(aČ, 24) = 1.


Okee, ik zal het volledig uitschrijven.

We willen bewijzen dat :
LaTeX
We nemen dus aan dat gcd(a,24)=1. We weten dan dat LaTeX zodat LaTeX
Deze vergelijking kwadrateren we nu aan beide zijden:
LaTeX . De producten LaTeX en LaTeX zijn allen elementen in LaTeX .

Dus we kunnen schrijven LaTeX . Dus a en 24 zijn relatief priem. Verder geldt:
LaTeX . Dit is equivalent aan LaTeX

QED





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures