Springen naar inhoud

Bepaalde integraal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2011 - 19:05

Goedendag,

Klopt het dat LaTeX niet bestaat omdat ln(x) niet continu is op het interval [0,1]?

ln(x) is - volgens mij - continu van (0, ->), met de 0 zelf dus uitgezonderd.

Dat LaTeX niet bestaat weet ik zeker, maar over grenswaarde 0 twijfel ik.

Alvast bedankt!
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2011 - 19:30

Los de integraal eerst onbepaald op met partiŽle integratie.
Dan vul je de grenzen in maar je moet er rekening houden dat het een oneigenlijke integraal is. (ln(0) is -;))
Dan zal je zien of de integraal kan bestaan.

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 oktober 2011 - 20:06

Als je kijkt naar wat een integraal is - de oppervlakte onder je grafiek - dan kan je grafisch inzien dat het niet begrensd is, het antwoord.
Lukt de partiŽle integratie overigens? Als controle heb ik het antwoord in hide-tags gezet, als je de uitwerking niet begrijpt, horen we het wel.

Verborgen inhoud
x(ln(x)-1) +C, de uitkomst van je onbepaalde integraal, toont het ook aan, als je de integratiegrenzen probeert in te vullen.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 oktober 2011 - 20:34

In het boek : Analyse deel:1 van A.W. Grootendorst en B. Meulenbeld staat de oplossing en uitwerking van deze integraal.
De integraal blijkt inderdaad te bestaan.

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 oktober 2011 - 20:39

In het boek : Analyse deel:1 van A.W. Grootendorst en B. Meulenbeld staat de oplossing en uitwerking van deze integraal.
De integraal blijkt inderdaad te bestaan.


Heb je het over de bepaalde integraal van hierboven?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 oktober 2011 - 20:44

Inderdaad. Ik kan natuurlijk het boek even onder de scanner leggen, en de uitwerking dan plaatsen in een nieuw bericht, maar daar wil ik dan wel toestemming voor krijgen van 1 van de moderatoren.
Anders wordt het voor mij moeilijk om uit te leggen dat de integraal bestaat.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2011 - 21:11

Goedendag,

Klopt het dat LaTeX

niet bestaat omdat ln(x) niet continu is op het interval [0,1]?

Maar ln(x) bestaat zelfs niet in 0, dus dan kan je er ook moeilijk over continuÔteit spreken.

De integraal die je noteert is geen 'gewone integraal', aangezien de integraal van f over [a,b] vereist dat f gedefinieerd is op het interval [a,b]. Toch is het mogelijk om het integraalbegrip uit te breiden om ook iets zinnig over bv. deze integraal te zeggen; men spreekt van 'oneigenlijke integralen'. Die kunnen convergeren (en dan kennen we er een reŽel getal aan toe) maar kunnen ook divergeren. Zo zal de integraal van 1/x voor x tussen 0 en 1 ook oneigenlijk zijn, maar deze is niet convergent.

De definitie voor dergelijke gevallen is er een aan de hand van een limiet:

LaTeX

De integraal rechts is, voor elke a>0, wel een 'gewone integraal' en die kan je dus met behulp van een primitieve bepalen. Dit staat nog in functie van a, de oneigenlijke integraal is dan per definitie bovenstaande limiet voor a naar 0 (langs rechts). Bepaal deze limiet, die zal in dit geval bestaan en we kennen dan ook deze waarde toe aan de oneigenlijke integraal.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 oktober 2011 - 21:25

@ TD: je hebt volledig gelijk, ik had even over het hoofd gezien dat er bij het invullen van de grenzen geen oneindig staat maar een onbepaaldheid:LaTeX . Mijn eerdere opmerking over het gebied is dus niet juist.

@aadkr: lijkt me voorlopig niet nodig om te plaatsen.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2011 - 21:30

@aadkr: Ik denk dat Arie er inderdaad zelf kan geraken; maar voel je vrij om achteraf die scans nog te tonen - een (eventueel andere) uitwerking is altijd handig.

Als je kijkt naar wat een integraal is - de oppervlakte onder je grafiek - dan kan je grafisch inzien dat het niet begrensd is, het antwoord.

Er is met andere woorden een (subtiel) onderscheid te maken tussen enerzijds het gebied dat onbegrensd kan zijn (zoals hier), maar dat dit niet noodzakelijk betekent dat de integraal niet eindig is.

Voor Arie: zo ook met een ander type oneigenlijke integralen waarbij minstens een van de grenzen oneindig genomen wordt; met andere woorden een integraal over een onbegrensd interval. Ook die integralen kunnen divergeren (zoals 1/x integreren voor x>1) maar ook convergeren (zoals 1/x≤ integreren voor x>1). Het 'gebied' (in het vlak) is in beide gevallen onbegrensd, maar de 'oppervlakte' kan eindig zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 oktober 2011 - 22:01

Beste Arie,
Zie je kans om de volgende bepaalde integraal te berekenen?
LaTeX
met x=positief en kleiner dan 1 .
Gebruik de tip die JorisL je gaf.

#11

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 oktober 2011 - 09:43

Hartelijk dank voor alle antwoorden!

Allereerst, het oplossen van de integraal is geen probleem.

In het boek dat ik gebruik staat dat deze opdracht niet, maar wel LaTeX . Toen vroeg ik mij af of LaTeX wel bestaat.

Maar ln(x) bestaat zelfs niet in 0, dus dan kan je er ook moeilijk over continuÔteit spreken.

Een functie f(x) is continuous at a number a if LaTeX
Hieruit volgt inderdaad dat je niet over continuÔteit van ln(x) kan spreken in het punt 0 omdat f(0) niet bestaat.

Maar in dit geval kan je dan volgens mij zeggen dat de functie f niet continu is op [0,1].

Verder staat er in mijn boek dat:

LaTeX alleen geldt wanneer f continu is op [a,b].

Hieruit volgt dan volgens mij ook dat je deze formule (Fundamental Theorem of Calculus, part 2) niet kan toepassen in de vorm zoals die hier omschreven staat.

Verder zie ik dat er een hoofdstuk in mijn boek staat "Improper Integrals", hierbij wordt inderdaad van notaties als LaTeX gebruik gemaakt.

Ik denk dus dat ik momenteel LaTeX niet kan oplossen met de definities en formules die ik tot nu toe heb gehad. Echter, later zal blijken dat deze integraal wel degelijk is op te lossen (a.d.h.v. andere formules en / of definities).
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 oktober 2011 - 09:48

LaTeX

Je bedoelt het ongetwijfeld goed, maar de notatie is eerder gevaarlijk. Een betere notatie is zoals bijv TD deed: LaTeX
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2011 - 10:14

In het boek dat ik gebruik staat dat deze opdracht niet, maar wel LaTeX

alleen geldt wanneer f continu is op [a,b].

Hieruit volgt dan volgens mij ook dat je deze formule (Fundamental Theorem of Calculus, part 2) niet kan toepassen in de vorm zoals die hier omschreven staat.

Klopt, dit is waar ik naar verwees met 'gewone integraal'; de uitbreiding verderop in je boek laat toe om toch een betekenis toe te kennen aan de integraal die je in deze topic hebt aangehaald. Het kan geen kwaad al eens wat vooruit te lopen uit nieuwsgierigheid ;).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures