Improper integral

Arie Bombarie

Goedendag,

De opgave:

Use the Comparison Theorem to determine whether the integral is convergent or divergent.

\(\int_{0}^{\infty}\frac{arctan(x)}{2+e^{x}}dx\)

Ik dacht gebruik te maken van het feit:

\(\frac{2}{2+e^{x}}>\frac{{arctan(x)}}{{2+e^{x}}}\)

voor x > 0.

Als dan

\(\int_{0}^{\infty}\frac{2}{2+e^{x}}dx\)

convergent is, is

\(\int_{0}^{\infty}\frac{arctan(x)}{2+e^{x}}dx\)

dat ook.

De integraal van

\(\int_{0}^{\infty}\frac{2}{2+e^{x}}dx\)

kan ik oplossen, echter uiteindelijk kom ik op een limiet uit die ik niet kan oplossen:

\(\lim_{t \to \infty}(t-ln(e^{t}+2)+ln(3))\)

Iemand een idee?

Alvast bedankt!

ZVdP

De snellere, maar misschien iets minder fomele aanpak:

\(e^t+2\xrightarrow{{{t \to \infty}}} e^t\)

Of iets formeler:

\(t-ln(e^t+2)=ln(e^t)-ln(e^t+2)\)

...

Safe

\(\lim_{t \to \infty}(t-ln(e^{t}+2)+ln(3))\)

\(\lim_{t \to \infty}(\ln(e^t)-\ln(e^{t}+2)+\ln(3))\)

Arie Bombarie

Hartelijk dank voor de antwoorden.

Volgens mij:

\(\lim_{t \to \infty}(\ln(e^t)-\ln(e^{t}+2)+\ln(3))=ln(3)\)

Want:

\(\lim_{t \to \infty}(\ln(e^t)-\ln(e^{t}+2)+\ln(3))=\lim_{t \to \infty}(\ln(\frac{e^t}{e^{t}+2})+\ln(3))\)

en:

\(=\lim_{t \to \infty}(\ln(\frac{1}{1+\frac{2}{e^t}})+\ln(3))=(\ln(1))+\ln(3))=ln(3)\)

Hieruit volgt dat

\(\int_{0}^{\infty}\frac{2}{2+e^{x}}dx\)

convergent is, en omdat

\(\frac{2}{2+e^{x}}>\frac{{arctan(x)}}{{2+e^{x}}}\)

voor x>0, is dus

\(\int_{0}^{\infty}\frac{arctan(x)}{2+e^{x}}dx\)

ook convergent.

Safe

OK! Succes verder.

Wetenschapsforum