Laplace transformatie dirac impuls

blackbox

dag,

ik moet hetvolgende bewijzen/aantonen:

\(L(\delta(t))=1\)

ik heb geen idee waarom dit zo is, waarom bv. niet 2 of 3 of 0,23....

wat mss. zou kunnen helpen is hetvolgende:

\(L(\delta(t-t0))=e^{-st0}\)

maar de link tussen beide zie ik niet in !

danku

grtz

In physics I trust

\(\delta_\epsilon = \left{ \begin{cases} \epsilon^{-1} \text{ als } 0 \leq t \leq \epsilon \\ o \text{ als } t < 0 \text{ of } t > \epsilon \end{cases}\)

Neem hier eens de Laplacegetransformeerde van.

Als vervolgens geldt:

\(\delta(t)= \lim_{\epsilon \to 0+}{\delta_{\epsilon}(t)}\)

, wat is dan

\(L(\delta(t))\)

?

blackbox

waar komt dit vandaan

\(\delta_\epsilon=\epsilon^{-1}\)

?

hoe kleiner het tijdsinterval is waarvoor de dirac delta functie bestaat, hoe hoger deze piekt

dus de dirac delta functie is omgekeerd evenredig met het tijdinterval

\(\int_0^\infty e^{-st} \delta_\epsilon dt=\lim_{x \to \infty} \int_0^x e^{-st} \delta_\epsilon dt\)

en hoe dien ik nu de onbepaalde inetgraal

\(\int e^{-st}\delta_\epsilon dt\)

uit te werken ?

ik kan moeilijk zeggen dat de laplace van de dirac impuls 1 is, zodat de integraal

\(\frac{-1}{s} e^{-st}\)

want dat is juist de vraag...

grtz

Drieske

Het leuke aan de dirac (delta) functie, is het volgende: ze zorgt ervoor dat je maar een heel klein stukje hebt dat van belang/nut is om je integraal uit te rekenen. Immers, daarbuiten is ie toch 0. Kun je hier iets mee?

Wat IPIT bedoelt, is dat je de Dirac delta functie zo kunt definiëren. Los geschreven, kom je door die limiet te nemen, uit dat

\(\delta(t) = \begin{cases}+\infty & t=0 \\ 0 & t \neq 0\end{cases}.\)

Als je nu nog gebruikt dat

\(\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1\)

, ben je er.

PS: alles wat ik hierboven heb gezet, zou ook ergens in jouw cursus moeten staan. Immers moet je de Dirac functie op een manier definiëren. Ik veronderstel dat dit is hoe jouw prof dat ook deed?

blackbox

functiedefinitie cursus zegt :

\(\delta(t-t0) = +\infty \)

voor

\( t \neq t0\)

wat dus overeen komt met een infinitesimaal kleine tijdsinvterval.

\(\delta(t)= \lim_{\epsilon \to 0+}{\delta_{\epsilon}(t)}\)

, dit komt dus op hetzelfde neer

de onbepaalde integraal wordt dan:

\(\int_0^\infty e^{-st} \delta_\epsilon dt=\int_0^t e^{-st} \delta_\epsilon dt + \int_t^\infty e^{-st} \delta_\epsilon dt \)

\(\int_0^t e^{-st} \delta_\epsilon dt +0=\int_0^t e^{-st} \delta(t)dt\)

verder zit ik vast, weeral bij een inetgraal waar reeds de dirac impuls in staat...

deze definitie (?) vindt ik nergens terug

\(\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1\)

waarom is de ondergrens hier

\(-\infty\)

?

grtz

Drieske

Voor info rond de Dirac functie kun je evt hier beginnen. En ben je zeker dat dat je hele definitie is?

\(\delta(t-t0) = +\infty \)

Moet dit niet 0 zijn?

Verder is iets als

\(\int_0^\infty e^{-st} \delta_\epsilon dt=\int_0^t e^{-st} \delta_\epsilon dt + \int_t^\infty e^{-st} \delta_\epsilon dt \)

uiteraard onmogelijk. Je veranderlijke kan nooit in de grenzen voorkomen. Waarom werk je nog met die

\(\delta_{\epsilon}\)

?

En misschien is het ook eens nuttig om hier een kijkje te nemen... Zoals je daar kunt lezen, is die

\(-\infty\)

volledig arbitrair. Zolang je 'essentieel' punt maar binnen de grenzen ligt

.

blackbox

een foutje idd:

het moet natuurlijk zijn:

\(\delta(t-t0)=\infty\)

bij

\(t=t0\)

en dus wordt de integraal an ook:

\(\int_0^\infty e^{-st} \delta_\epsilon dt=\int_{0}^{t0} e^{-st} \delta_\epsilon dt + \int_{t0}^\infty e^{-st} \delta_\epsilon dt \)

de grenzen knn. idd niet afhankelijk zijn van de veranderlijke

wat we nu hebben is dan

\(\int_{0}^{t0}e^{-st}\delta(t)dt\)

ik moet nu zien te bewijzen dat dit gelijk is aan 1.

je hebt daarvoor wel een tip gegeven nl.:

\(\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1\)

maar waarom geldt dit ...

dat is een beetje waar ik het moelijk heb om te begrijpen; ik moet iets bewijzen maar in het bewijs moet definities gebruiken

ik egens wel aanemen dat dit 1 is, maar de wiskunde erachter ontbreekt, voor mijn part kan het ook 2 zijn of 3 of...

zie je waar ik vast zit,

ik zal de linkjes bekijken

grtz

JorisL

je gebruikt de definitie waarbij de deltafunctie een limiet is van steeds smaller maar hoger wordende rechthoeken.

De definitie zoals die van IPITY. Dus epsilon > 0.

\(\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_\epsilon dt = \int_0^\epsilon \frac{1}{\epsilon}dt = \frac{1}{\epsilon}\cdot\epsilon = 1\)

Daarna de limiet dat epsilon naar 0 nadert en het is bewezen voor positieve epsilon.

Drieske

blackbox schreef:je hebt daarvoor wel een tip gegeven nl.:
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1\)

maar waarom geldt dit ...

Je kunt het inzien zoals JorisL je reeds toonde, maar het is eigenlijk ook gewoon een onderdeel van de definitie vaak. Dan valt er niets meer te bewijzen. Maar het resultaat is nog sterker dan dat:

\(\int_{t_1}^{t_2} \delta(t - t_0) dt = 1\)

voor elke

\(t_1, t_2\)

met

\(t_0 \in [t_1, t_2]\)

. Dit kun je inzien doordat alle 'massa' van je functie zich sowieso in het punt t₀ bevindt en de rest er, strikt genomen, niet toe doet.

blackbox

@JoristL:

\( \int_0^\epsilon \frac{1}{\epsilon}dt = \frac{1}{\epsilon}\vert t \vert_{0}^{\epsilon}=\frac{1}{\epsilon} \vert \epsilon -0 \vert= \frac {1}{\epsilon}.\epsilon-0=1\)

correct ?

@Drieske: mijn gevoel zegt idd. dat de inhoud zich dan voordoet in dat tijdsinterval

\( t1,t2\)

, maar zoals JoristL het wiskundig bechreef dmv. integraalrekening begrijp ik het wiskundig

verder heb ik het woord inhoudt gebruikt, maar wat houdt dit woord in; is hier een definitie voor ?

stel dat ik zeer veel vermogen in zeer korte tijd ontwikkel is de '1' dan het hele vermogen ,iets zoals percentages... ?

\(\delta(t)= \lim_{\epsilon \to 0+}{\delta_{\epsilon}(t)}\)

\(\int_{0}^{\infty}e^{-st}\delta(t)dt=\int_{0}^{t0} e^{-st}.1dt=-\frac{1}{s}\vert e^{-st} \vert_{0}^{t0}\)

hier ga ik precies toch nog in de fout....

dank

grtz

Drieske

Je past het verkeerd toe. Waarom vervang je je dirac-functie door 1? In de link die ik je eerder gaf, had ik geschreven

Drieske schreef:Ivm de dirac functie. Je weet dat
\(f(t) \delta(t-t_0)\)
overal nul wordt, buiten in t₀. Maw, je kunt stellen dat
\(f(t) \delta(t-t_0) = f(t_0) \delta(t-t_0)\)
. Dit nu gebruiken in je integraal, geeft:

\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) \delta(t-t_0)dt = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t_0) \delta(t-t_0)dt = f(t_0) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0)dt = f(t_0).\)
Snap je dit?

Voor jou geldt dezelfde vraag: snap je dit? Zoja, dan is jouw functie maar een speciaal geval hiervan (met t₀ = 0)

.

blackbox

\(L(\delta(t))=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\delta(t)dt=\int_{0}^{t0}e^{-st}\delta(t)dt+\int_{t0}^{\infty}e^{-st}\delta(t)dt=\int_{0}^{t0}e^{-st}\delta(t)dt\)

dit is correct , als

\(\delta(t0)=0\)

bij

\( t \neq t0\)

?

hoe werk ik dan de integraal uit ?

daar zit mijn probleem.

Ivm de dirac functie. Je weet dat
\(f(t) \delta(t-t_0)\)
overal nul wordt, buiten in t0. Maw, je kunt stellen dat
\(f(t) \delta(t-t_0) = f(t_0) \delta(t-t_0)\)
. Dit nu gebruiken in je integraal, geeft:

\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) \delta(t-t_0)dt = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t_0) \delta(t-t_0)dt = f(t_0) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0)dt = f(t_0).\)

Snap je dit?

jazeker

grtz

Drieske

jazeker

Waarom pas je dit dan niet, vrij letterlijk, toe op jouw situatie? Je kunt volledig analoog te werk gaan. Bij jou is t0 = 0 en daar is de exponentiële 1. Dus...

blackbox

het stukje waar je me vroeg of ik dit snap; daar doelde ik op het feit dat ik de integraal wel kan interpreteren.

dwz.:

\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) \delta(t-t_0)dt = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t_0) \delta(t-t_0)dt = f(t_0) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0)dt = f(t_0)\)

met de functie

\( f(t)\)

vervangen door

\(e^{-st}\)

zodoende kom je uit op

\(e^{-st0}\)

maar ik vertrek vanuit de deifinite voor de laplace transformatie

\(L(\delta(t))=\int_{0}^{t0}e^{-st}\delta(t)dt\)

en reken dit uit als integraal en dan kom ik toch nooit bij

\(e^{-st0}\)

?

maw. moet ik aanemen dat

\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) \delta(t-t_0)dt = f(t_0)\)

voor elke soort functie

\(f(t)\)

onder voorbehoud dat de lapalce ervan bestaat ?

ik maak het mss. allemaal veel te moeilijk, maar dit is min interpretatie ervan.

dank

grtz

blackbox

hey,

ik heb het intussen wiskundig volledig kunnen oplossen

dank voor julie hulp !

nog één klein dingetje: hoe is men eigenlijk tot de definitie gekomen van de laplace transformatie...

gewoon verzonnen ofzo; in de link die gegeven werd door Drieske ?, werd die vraag ook gesteld maar niet echt beantwoord.

grtz

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Laplace transformatie dirac impuls

Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls

Re: Laplace transformatie dirac impuls