Opgave 105
A, B en C zijn drie rijtjes nullen en enen van dezelfde lengte n. Definieer voor twee rijtjes x en y de afstand d(x, y) als het aantal plaatsen waar x en y niet hetzelfde getal hebben (bijvoorbeeld d(10011, 11010) = 2). Als nu d(A, B) = d(A, C) = d(B, C) = t, bewijs dan dat
t even is;
er een rijtje D van lengte n is met d(A, D) = d(B, D) = d(C, D) = frac{1}{2}t.
enig idee hoe dit moet?
Laatste berichten
-
23:25
2013 – Augustus Vraag 3
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
23:04
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 5
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
pythagoras oplympiade: opgave 105
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 179
Re: pythagoras oplympiade: opgave 105
Aha, daar hebben we nog eens een interessant wiskundeprobleem 
1) We bewijzen dat t even is.
Modulo 2 geldt er: d(A, B) = (a_1 - b_1) + (a_2 - b_2) + ... + (a_n - b_n) = (a_1 + a_2 + ... + a_n) + (b_1 + b_2 + ... + b_n). Gelijkaardige gelijkheden voor d(B, C) en d(C, A) geven 3t = d(A, B) + d(B, C) + d(C, A) = 2[(a_1 + ... + a_n) + (b_1 + ... + b_n) + (c_1 + ... + c_n)] dus is t even.
2) We definiëren het rijtje D als volgt voor elke i: Als a_i = b_i = c_i stellen we a_i = b_i = c_i = d_i. In 't andere geval zijn precies twee van de getallen a_i, b_i, c_i gelijk: we geven dan d_i die bepaalde waarde. We gaan na dat dit rijtje D voldoet. Idd, zij A' het aantal indices i waarvoor a_i =/= b_i en a_i =/= c_i, en definieer B' en C' analoog. Dan geldt d(A, D) = A', d(B, D) = B' en d(C, D) = C'. Ook geldt t = d(A, B) = A' + B', t = d(B, C) = B' + C' en t = d(C, A) = C' + A' zodat inderdaad (na wat rekenen) A' = B' = C' = t/2.
1) We bewijzen dat t even is.
Modulo 2 geldt er: d(A, B) = (a_1 - b_1) + (a_2 - b_2) + ... + (a_n - b_n) = (a_1 + a_2 + ... + a_n) + (b_1 + b_2 + ... + b_n). Gelijkaardige gelijkheden voor d(B, C) en d(C, A) geven 3t = d(A, B) + d(B, C) + d(C, A) = 2[(a_1 + ... + a_n) + (b_1 + ... + b_n) + (c_1 + ... + c_n)] dus is t even.
2) We definiëren het rijtje D als volgt voor elke i: Als a_i = b_i = c_i stellen we a_i = b_i = c_i = d_i. In 't andere geval zijn precies twee van de getallen a_i, b_i, c_i gelijk: we geven dan d_i die bepaalde waarde. We gaan na dat dit rijtje D voldoet. Idd, zij A' het aantal indices i waarvoor a_i =/= b_i en a_i =/= c_i, en definieer B' en C' analoog. Dan geldt d(A, D) = A', d(B, D) = B' en d(C, D) = C'. Ook geldt t = d(A, B) = A' + B', t = d(B, C) = B' + C' en t = d(C, A) = C' + A' zodat inderdaad (na wat rekenen) A' = B' = C' = t/2.
