Springen naar inhoud

Logaritme met negatief grondtal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2011 - 11:19

Afgesplitst vanuit dit topic.

Lijkt me niet helemaal compleet, waarom zou bijvoorbeeld x=-4/9 niet in het domein zitten? Aangezien LaTeX .

Of LaTeX , en zo zijn er volgens mij nog oneindig veel geldige x < -1/3.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 26 oktober 2011 - 11:28

Lijkt me niet helemaal compleet, waarom zou bijvoorbeeld x=-4/9 niet in het domein zitten? Aangezien LaTeX

.

Of LaTeX , en zo zijn er volgens mij nog oneindig veel geldige x < -1/3.

De log voor pos reŽle getallen is alleen gedefinieerd voor positieve grondtallen (waarom niet voor 1?)

Veranderd door Safe, 26 oktober 2011 - 11:28


#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2011 - 11:51

De log voor pos reŽle getallen is alleen gedefinieerd voor positieve grondtallen (waarom niet voor 1?)

Ik begrijp waarom niet voor 1, maar zoals al is opgemerkt zijn logaritmen en exponentiŽle functies elkaars inverse:

LaTeX

Dus waarom zou bijvoorbeeld LaTeX of LaTeX niet gedefinieerd zijn? (met respectievelijk uitkomsten 2 en 3)

Let wel, ik houd het nog even bij reŽle situaties, geen complexe of imaginaire toestanden.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 26 oktober 2011 - 12:02

Denk je de grafiek te kunnen tekenen van:
LaTeX
Is dit een continue functie?

Veranderd door Safe, 26 oktober 2011 - 12:02


#5

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2011 - 13:30

Denk je de grafiek te kunnen tekenen van:
LaTeX


Is dit een continue functie?

Ja, en ja:

Geplaatste afbeelding

Het domein van deze functie is LaTeX waarbij LaTeX , de verzameling der oneven getallen.

Dit domein ligt dicht in LaTeX , vandaar dat de grafiek eruit ziet als een doorlopende lijn, maar er zitten infinitesimaal kleine onderbrekinkjes tussen. De functie is wel continu.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 26 oktober 2011 - 13:57

Laat nu anderen maar eerst reageren ...

#7

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 26 oktober 2011 - 17:50

Wat al dan niet gedefinieerd is hangt ten dele van de auteur af die je raadpleegt. Er is in de wiskunde een zekere speelruimte om zaken te definiŽren hoe je dat zelf leuk vindt, zolang het maar logisch sluitende definities zijn. Daarom heeft het ook geen zin te discussiŽren over de vraag of iets in de wiskunde wel of niet gedefinieerd is, behalve in die gevallen waarin geen logisch sluitende definitie mogelijk is.

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2011 - 18:28

Daarom heeft het ook geen zin te discussiŽren over de vraag of iets in de wiskunde wel of niet gedefinieerd is, behalve in die gevallen waarin geen logisch sluitende definitie mogelijk is.

Misschien valt er te discussiŽren over de vraag of een bepaalde definitie logisch sluitend is? Mij lijkt het vrij voor de hand liggend wat LaTeX is (conform bovenstaande gewoon een nette, welgedefinieerde, continue functie) maar vanwege het ietwat vreemde domein zijn daar misschien twijfels over? Aan de andere kant, geldt dat niet ook voor een functie als bijvoorbeeld tan(x), waar doorgaans toch geen discussie over bestaat?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 26 oktober 2011 - 19:00

Misschien valt er te discussiŽren over de vraag of een bepaalde definitie logisch sluitend is? Mij lijkt het vrij voor de hand liggend wat LaTeX

is (conform bovenstaande gewoon een nette, welgedefinieerde, continue functie) maar vanwege het ietwat vreemde domein zijn daar misschien twijfels over? Aan de andere kant, geldt dat niet ook voor een functie als bijvoorbeeld tan(x), waar doorgaans toch geen discussie over bestaat?


Hoe definieer je onderstaande:

LaTeX (met b ;) 0)

voor gehele getallen a en b?

#10

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 oktober 2011 - 19:59

@Rogier: Druk -2log x eens uit met behulp van natuurlijke logaritmen door uit te gaan van LaTeX . Wat is nu je conclusie met betrekking tot -2log x?

Veranderd door mathreak, 26 oktober 2011 - 19:59

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#11

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2011 - 22:17

Hoe definieer je onderstaande:

LaTeX

(met b ;) 0)

voor gehele getallen a en b?

Die bestaat alleen als b oneven is, negatieve getallen kun je alleen tot rationale machten verheffen met oneven noemer (als we de zaak reŽel houden althans).

En dan is het LaTeX als a even is, en LaTeX als a oneven is.

Grafiek van LaTeX :

Geplaatste afbeelding

Het domain is dus LaTeX , in tegenstelling tot LaTeX is deze functie niet continu.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#12

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 26 oktober 2011 - 22:44

Die bestaat alleen als b oneven is, negatieve getallen kun je alleen tot rationale machten verheffen met oneven noemer (als we de zaak reŽel houden althans).


Dat betekent dan dat LaTeX bestaat, maar LaTeX niet. Eigenlijk definieer je dan niet LaTeX maar LaTeX , oftewel een functie van twee argumenten. Door allerlei gevallen te onderscheiden, zal je je definitie waarschijnlijk wel kunnen doorzetten, maar erg elegant wordt het niet. Ik vermoed dat men er daarom maar liever niet aan begint.

#13

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 oktober 2011 - 00:18

Dat betekent dan dat LaTeX

bestaat, maar LaTeX niet. Eigenlijk definieer je dan niet LaTeX maar LaTeX , oftewel een functie van twee argumenten.

Volgens mij maak jij dat er nu van, door a/b en 2a/2b als twee verschillende getallen te zien?

Ik definieer (-2)^x gewoon als eenduidige functie voor bepaalde rationale argumenten x (om eventuele ambiguÔteit uit te sluiten kun je toevoegen dat je LaTeX uitdrukt als a/b met ggd(a,b)=1).

Het lijkt mij een heldere welgedefinieerde functie die ook aansluit bij wat je "mag verwachten" of waarvan je intuÔtief aanvoelt wat het moet zijn (voor mij wel althans, er lijkt me geen zinnig alternatief, en zeggen dat het niet bestaat vind ik als een raar gemis aanvoelen).


Is er iets mis met LaTeX ? Dit is in essentie hetzelfde. De functie LaTeX is sowieso een nette, triviale, continue functie LaTeX , en bijectief dus inverteerbaar. Ik vind het dan juist gekunsteld overkomen als je zegt dat de inverse LaTeX maar voor de helft bestaat. Idem voor andere oneven-machtswortels. En vanaf LaTeX naar LaTeX lijkt me een logisch gevolg. Waarbij a/b dus geen aparte argumenten zijn, het gaat nog steeds gewoon om LaTeX waarbij LaTeX en waarbij het domein (een deelverzameling van LaTeX ) zo groot mogelijk wordt genomen als redelijkerwijs kan.

Veranderd door Rogier, 27 oktober 2011 - 00:20

In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#14

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 27 oktober 2011 - 01:21

Volgens mij maak jij dat er nu van, door a/b en 2a/2b als twee verschillende getallen te zien?

Ik definieer (-2)^x gewoon als eenduidige functie voor bepaalde rationale argumenten x (om eventuele ambiguÔteit uit te sluiten kun je toevoegen dat je LaTeX

uitdrukt als a/b met ggd(a,b)=1).


Ik wil best geloven dat er ook voor negatieve grondtallen nog van alles mogelijk is, maar eerst moet je je al tot rationale exponenten bepalen en vervolgens ook nog de ggd erbij halen. De vraag is dan, loont dat de moeite? En dat hangt er maar net van af wat je van plan bent.

#15

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2011 - 01:43

Zo raar is de voorwaarde op x niet. Het idee van het schrijven van een rationaal getal als 'ontbinding in priemfactoren' waarbij de exponenten gehele getallen zijn, dus ook negatieve waarden kunnen aannemen, is de opstap tot p-adische getallen. Hier moet de 'exponent van 2' dus een natuurlijk getal zijn (0,1,2...). Rigoureuser spreekt men van de 2-orde (of 2-adische orde). De voorwaarde op het rationaal getal x kan dus mooi neergeschreven worden als LaTeX .

Veranderd door kee, 27 oktober 2011 - 01:58






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures