Ik ben momenteel bezig met het oefenen voor mijn tentamen wiskunde maar loop vast bij een opgave mbt tot breuksplitsen, het gaat om de volgende dif. vergelijking:
\(\int \frac{x^3+x^2-1}{x^4-2x^3+x^2} dx\)
\((x^4-2x^3+x^2) = x^2(x-1)^2\)
\(\frac{A}{x}\)
\(\frac{B}{x^2}\)
\(\frac{C}{x-1}\)
\(\frac{D}{(x-1)^2}\)
waaruit volgt dat: \( \int \frac{x+x^2-1}{x^4-2x^3+x^2} dx *\frac{(x-1)x}{(x-1)x} = \int \ \frac{A}{x}dx+ \int \+\frac{B}{x^2}dx \int \+\frac{C}{x-1}dx + \int \ \frac{D}{(x-1)^2}dx\)
Rechterkant oplossen geeft: \(\frac{A(x-1)(x-1)^2x^2+Bx(x-1)(x-1)^2+Cx^2x(x-1)^2+D(x-1)x^2x}{xx^2(x-1)(x-1)^2}\)
Alles uitgeschreven ziet er als volgt uit:\(\int \frac{Ax^5-3Ax^4+3Ax^3-Ax^2+Bx^4-3Bx^3+3Bx^2-Bx+Cx^5-2Cx^4+Cx^3+Dx^4-Dx^3}{xx^2(x-1)(x-1)^2} \)
= \( \int \frac{x^5-x^3-x^2-x}{(x^4-2x^3+x^2)*(x-1)x}\)
Daaruit volgen de volgende 5 vergelijkingen:\(1) (Ax+Cx) x^5=1\)
\(2) (-3Ax+Bx-2Cx+Dx) x^4= (onbekend of 0??)\)
\(3) (3Ax-3Bx+Cx-Dx) x^3=-1\)
\(4) (-Ax+3Bx) x^2=-1\)
\(5) -Bx=-1\)
Hieruit volgt dat B=1Ingevult in 4 levert: -A+3=-1-->A=4
A invullen in 1 geeft: 4+C=1--> C=-3
ABC ingevult in 3 geeft: 6-D=-1-->D=7
en nu komt mijn probleem... de coëfficiënten volgens mijn reader horen te zijn A=-2 B=-1 C=3 en D=1.
Kan iemand mij vertellen waar ik de mist in ga?
En bij de 2e vergelijking is het dan zo dat heel die vergelijking 0 hoort te zijn aangezien er in de teller van de originele vergelijking vermenigvuldigt met (x-1)x geen x^4 uitkomt?
Enige hulp zou super op prijs gesteld worden!
